Binom açılımı

Matematikte binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin cebirsel açılımıdır. Teoreme göre, (x + y)ⁿ formatında yazılmış bir polinom, b,c $\geq$ 0, b +c = n, ax^by^c formatındaki terimlerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu ifadede b,c,n $\in$ N, b$\geq$ 0, c$\geq$ 0, b+c=n, a> 0 koşulları sağlanmalıdır.

a katsayısı binom katsayısı olarak da bilinir. Verilen n ve b değerlerine göre değişiklik gösteren bu katsayı Pascal üçgeninden elde edilebilir. Bu katsayı aynı zamanda kombinasyonla ${\binom {n}{b}}$ veya ${\binom {n}{c}}$ şeklinde ifade edildiğinde ise n sayılı bir kümeden seçilen b elemanın kombinasyonunun sayısını gösterir.

Tarihçe

Binom teoreminin bazı özel formları MÖ 4. yüzyılda Yunan matematikçi Öklid'in üs 2 iken binom teoreminden bahsettiğinden beri bilinmektedir. Hindistanda ise kübik üsler için binom teoreminin bilindiğine dair bazı kanıtlar bulunmaktadır.

Hint matematikçiler aynı zamanda binom katsayısını kombinasyonla ifade etmeye de çalışmışlardır. Bu yaklaşımdan ilk kez Hint fizikçi Pingala'nın Chandaḥśāstra adlı eserinde görülmüş ve çözümü için metot gösterilmiştir. Halayudha 10. yüzyılda bunu bugün Pascal üçgeni olarak bilinen yöntemi kullanarak açıklar. Hint matematikçilerin 6. yüzyıldan itibaren bunu bir katsayı olarak ifade ettikleri tahmin edilmektedir ve bunun $\left({\frac {n!}{(n-k)!k!}}\right)$ şeklinde yazıldığına 12. yüzyılda Bhāskara'nın yazdığı Lilavati'de rastlanır.

Temel binom açılımı

n bir doğal sayı iken,

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$ $(sigma)$

Burada ${n \choose k}$, $n$ 'nin $k$ 'li kombinasyonudur.

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Daha da genel bir formül olarak $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{k}=\sum _{k_{1},\cdots ,k_{n}\geq 0;\sum _{i=1}^{n}k_{i}=k}{\frac {k!}{\prod _{i=1}^{n}k_{i}!}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{k_{i}}$ örnek gösterilebilir.

Genelleştirilmiş binom açılımı

Kombinasyon tanımı gerçel ve karmaşık sayıları kapsayacak şekilde genelleştirildiği takdirde;

${r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}$

$n$'in bir doğal sayı olma şartı ortadan kalkar.

Ayrıca bakınız

• Pascal üçgeni
• Binom dağılımı
• Kombinasyon
• Taylor serisi