Kök testi

Matematikte kök testi bir ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ sonsuz serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Özellikle kuvvet serileriyle bağlantılı olarak yararlıdır.

Test

Kök testi ilk defa Cauchy tarafından geliştirilmiştir ve bu yüzden bazen Cauchy kök testi veya Cauchy radikal testi olarak da anılır. Kök testi

C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}

sayısını kullanır. Burada "lim sup", ∞ da olabilen üst (superior) limittir.

Kök testi şunu ifade etmektedir.

C < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
C > 1 ise, seri ıraksaktır.
C = 1 ise, test sonuçsuzdur.

Kuvvet serilerine uygulanması

Bu test, c_n katsayılarının ve p merkezinin karmaşık sayı olduğu, z 'nin karmaşık değişken olduğu bir

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}

kuvvet serisiyle kullanılabilir.

O zaman serinin terimleri a_n = c_n(z - p)ⁿ ile verilir. O zaman kök testi a_n 'ye yukarıdaki gibi uygulanır. Bazen bu gibi bir seriye "p etrafındaki" kuvvet serisi adı verilir çünkü yakınsaklık yarıçapı R serinin iç bölgesindeki her z noktasında yakınsak olduğu en geniş p merkezli aralık veya diskin yarıçapıdır (aralığın veya diskin sınırı üzerindeki yakınsaklık ayrıca bakılmalıdır). Kök testinin böyle bir kuvvet serisine uygulanan bir sonucu ise yakınsaklık yarıçapının kesinlikle $1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ olmasıdır. Burada, payda sıfır olurken yarıçapın +∞ olduğuna dikkat edilmelidir.

İspat

Σa_n serisinin yakınsaklığının kanıtı aslında karşılaştırma testinin bir uygulamasıdır. Her n ≥ N (n sabit bir doğal sayı) için ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1$ ise, o zaman $a_{n}<k^{n}<1$ olur. $\sum _{n=N}^{\infty }k^{n}$ geometrik serisi yakınsadığı için o zaman karşılaştırma testiyle $\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}$ de yakınsar. Pozitif olmayan a_n için yakınsaklık da ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$ kullanılarak aynı yolla kanıtlanır.

Sonsuz tane n için ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1$ ise, o zaman a_n 0'a yakınsamaz ve bu yüzden seri ıraksak olur.

Sonucun kanıtı: Σa_n = Σc_n(z - p)ⁿ kuvvet serisi için, serinin yakınsak olması için şunun olması gerektiğini görüyoruz:

Her n ≥ N için

{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,

ifadesine denk olarak

{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1

ifadesini sağlayan bir N vardır. Bu da serinin yakınsaması için yeteri kadar büyük n 'ler için $|z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ olmasını gerektirmektedir. Bu da

|z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}

demeye denktir. Böylece

$R\geq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ olur. Şimdi yakınsaklığın mümkün olduğu tek yer,

{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1

olduğu zamandır (1'den büyük noktalarda ıraksaklık vardır) ve bu da yakınsaklık yarıçapını değiştirmeyecektir çünkü bunlar da aralığın veya diskin sınırının üzerinde yer alan noktalardır. Böylece

R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}

olur.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Knopp, Konrad (1956), "3.2", Infinite Sequences and Series, Dover publications, Inc., New York, ISBN 0-486-60153-6
Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963), "2.35", A Course in Modern Analysis (4 bas.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3

Bu makale PlanetMath'deki Cauchy kök testinin kanıtı maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.