Dışbükey eşlenik

Matematikte ve matematiksel eniyilemede dışbükey eşlenik, Legendre dönüşümünün bir genellemesidir ve dışbükey olmayan fonksiyonlara da uygulanabilir. Bu dönüşüm, matematiksel eniyilemede yaygın olarak kullanılır ve özellikle Lagrange eşizliğini genelleştirerek eşiz problemini oluşturmak için kullanılır.

Tanım

$X$ bir gerçel topolojik vektör uzayı olsun ve $X^{*}$ bu uzayın eşiz uzayı olsun.

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{*}\times X\to \mathbb {R}$

ifadesi, eşiz çiftini gösterir ve

$\left\langle x^{*},x\right\rangle \mapsto x^{*}(x)$

tanımı ile verilir. Bu hâlde, bir fonksiyonun dışbükey eşleniği, aşağıdaki şekilde tanımlanır:

$f^{}:X^{}\to \mathbb {R} \cup {-\infty ,+\infty }$

Bu fonksiyonun değeri, $x^{*}\in X^{*}$ için şu supremum ile tanımlanır:

$f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)~\colon ~x\in X\right\},$

Bu tanım, fonksiyonun dıibükey dürümünün aynı fonksiyonun epigrafının destek hiperyüzeyleri cinsinden kodlanması olarak yorumlanabilir.

Örnekler

Daha fazla örnek için, aşağıdaki seçilmiş dışbükey eşleniklerin yer aldığı tabloya bakınız.

• Bir afin fonksiyon olan $f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b$ fonksiyonunun dışbükey eşleniği:

$$f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}$$

• Bir kuvvet fonksiyonu olan $f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},1<p<\infty$ fonksiyonunun dışbükey eşleniği:

$$f^{*}\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},1<q<\infty ,{\text{where}}{\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$$

• Mutlak değer fonksiyonu $f(x)=\left|x\right|$ in dışbükey eşleniği:

$$f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}$$

• Üstel fonksiyon $f(x)=e^{x}$in dışbükey eşleniği:

$$f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}$$

Bu durumda, dışbükey eşlenik ve Legendre dönüşümü, üstel fonksiyon için aynı sonucu verir, ancak dışbükey eşlenik daha geniş bir tanım kümesine sahiptir.