Kök (matematik)

ƒ(x)=cosx fonksiyonunun [-2π,2π] aralığındaki grafiği ve kökleri (kırmızı ile gösterilmiştir)

Matematikte gerçel, karmaşık veya daha genel bir anlamda vektör değerli bir fonksiyonun kökü, fonksiyonun tanım kümesinde bulunan ve fonksiyonun 0 değerini aldığı noktalardır. Yani, eğer bir V kümesinden bir W vektör uzayına tanımlı bir fonksiyonu

f:V\to W

varsa ve

x\in V,\ f(x)=0\in W

koşulunu sağlıyorsa, o zaman $x$ , $f\$ 'nin bir köküdür. Bir fonksiyonun kökü ile fonksiyonun 0 noktasında (eğer 0 tanım kümesinin bir elemanıysa) aldığı değer karıştırılmamalıdır. Eğer bir fonksiyon, gerçel sayılardan gerçel sayılara tanımlıysa, o zaman kökleri x-eksenini kestiği noktalardadır.

Bir fonksiyonun kökünden bahsedilirken, tanım kümesi ve değer kümesinden bahsedilmelidir. Mesela, $p(x)=x^{2}+1$ fonksiyonunun gerçel bir kökü yokken karmaşık değerli iki kökü vardır ve bunlar da $i$ ve $-i$ karmaşık sayılarıdır.

Belli başlı bazı fonksiyonların, özellikle polinomların, köklerini bulmak uygulamada yararlı sonuçlar getiren; ancak bazı teknikler de gerektiren bir uğraştır. Kökleri bulmaya yarayan bu tekniklere Newton yöntemi örnek olarak gösterilebilir. Karmaşık sayılar, ikinci ve üçüncü dereceden negatif diskriminanta sahip denklemlerin köklerini bulmaya çalışırken ortaya çıkmıştır.

Gerçel katsayılı ve gerçel değerler alan her tek dereceli polinomun en az bir tane kökü vardır; ancak yukarıda verilen örnekte de görüldüğü üzere çift dereceli fonksiyonların böyle bir özelliği yoktur. Diğer taraftan, Cebirin temel teoremi de karmaşık düzlemde n dereceli her polinomun n tane karmaşık kökü (dereceleri de sayılarak) olduğunu söylemektedir. Bu tür polinomların gerçel olmayan karmaşık değerli kökleri çift halinde gelmektedir: $z\$ bir kök ise ${\bar {z}}$ de bir köktür. Viète formülleri ise bir polinomun köklerinin toplamları ve çarpımlarıyla polinomun katsayıları arasındaki ilişkiyi ifade etmektedir.

Matematikte çözülememiş problemlerden birisi de Riemann zeta fonksiyonunun bayağı olmayan köklerinin hepsinin karmaşık düzlemdeki $Re(z)={\frac {1}{2}}$ doğrusu üzerinde olduğunu göstermektir.

Ayrıca bakınız