Runge-Kutta yöntemleri

Sayısal analizde Runge-Kutta yöntemleri, adi diferansiyel denklemlerin çözüm yaklaşımları için kapalı ve açık yinelemeli yöntemler ailesinin önemli bir tipidir. Bu yöntem 1900'lü yllarda C. Runge ve M.W. Kutta adlı matemetikçiler tarafından geliştirilmiştir.

• 4. dereceden klasik Runge-Kutta Yöntemi:

"RK4" veya "Runge-Kutta yöntemi" olarak adlandırılan Runge-Kutta yöntemleri ailesinin bu üyesi sıkça kullanılır.

Aşağıdaki gibi tanımlanan bir başlangıç değer problemini ele alalım.

$y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0}$

ve bu problem için RK4 yöntemi aşağıdaki denklemlerle verilir.

$y_{n+1}=y_{n}+{\frac {1}{6}}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})$

Burada

$k_{1}=hf\left(t_{n},y_{n}\right)$

$k_{2}=hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{1}}{2}}\right)$

$k_{3}=hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{2}}{2}}\right)$

$k_{4}=hf\left(t_{n}+h,y_{n}+k_{3}\right)$

Böylece bir sonraki $y_{n+1}$ değeri o anki $y_{n}$ değerine $h$ aralığının büyüklüğüyle tahmini eğimin çarpımının eklenmesiyle elde edilir. Bu eğim, eğimlerin ağırlıklı ortalamasıdır:

• k₁ aralığın başlangıcındaki eğimdir.
• k₂ aralığın orta noktasındaki eğimdir. Bu k₂ eğimi, Euler Yöntemi kullanılarak y'nin t_n+h/2 noktasındaki değerinden elde edilir.
• k₃ yine orta noktadaki eğimdir. Ama bu sefer y değeri k₂ eğiminden elde edilir.
• k₄ aralığın sonundaki eğimdir ve y değeri k₃ eğimi kullanılarak bulunur.