Apéry sabiti - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Apéry teoremi
  • 2 Seri şeklinde yazılışı
  • 3 Diğer formüller
  • 4 Bilinen basamakları
  • 5 Kaynakça
  • 6 Konuyla ilgili yayınlar

Apéry sabiti

  • العربية
  • Azərbaycanca
  • বাংলা
  • Català
  • Dansk
  • Deutsch
  • English
  • Español
  • فارسی
  • Français
  • Galego
  • עברית
  • Bahasa Indonesia
  • İtaliano
  • 日本語
  • 한국어
  • Lombard
  • Nederlands
  • Polski
  • Português
  • Русский
  • Slovenščina
  • Svenska
  • Українська
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Apéry'in sabiti sayfasından yönlendirildi)
Kullanılan sayılar
γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
İkilik sistem 1.001100111011101...
Onluk sistem 1.2020569031595942854...
Sonsuz kesir
olarak yazılışı 		1 + 1 4 + 1 1 + 1 18 + 1 ⋱ {\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{18+{\frac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}} {\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{18+{\frac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}}

Apéry sabiti, matematiğin gizemli sayılarından biridir. Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır. Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir. Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

ζ ( 3 ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots } {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }

Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu sayının yaklaşık değeri

ζ ( 3 ) = 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 … {\displaystyle \zeta (3)=1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots } {\displaystyle \zeta (3)=1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots }

Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir.

Apéry teoremi

[değiştir | kaynağı değiştir]
Ana madde: Apéry teoremi

Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir. Bu sonuç, Apéry teoremi olarak adlandırılır. Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir. Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir.

Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2n+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştir.[1] Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur.[2]

Seri şeklinde yazılışı

[değiştir | kaynağı değiştir]

Leonhard Euler Euler 1773 1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir Srivastava 2000, s. 571 (1.11):

ζ ( 3 ) = π 2 7 [ 1 − 4 ∑ k = 1 ∞ ζ ( 2 k ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 ) 2 2 k ] {\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}

Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur.

Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir. Bunlar, Plouffe 1998:

ζ ( 3 ) = 7 180 π 3 − 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ( e 2 π k − 1 ) {\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}

ve

ζ ( 3 ) = 14 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 sinh ⁡ ( π k ) − 11 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ( e 2 π k − 1 ) − 7 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ( e 2 π k + 1 ) . {\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.} {\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}

ifadeleridir.

ζ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \zeta (2n+1)} {\displaystyle \zeta (2n+1)}'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır.

Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır:

ζ ( 3 ) = 8 7 ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) 3 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}}
ζ ( 3 ) = 4 3 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) 3 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}}
ζ ( 3 ) = 5 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( k ! ) 2 k 3 ( 2 k ) ! {\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!)^{2}}{k^{3}(2k)!}}} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!)^{2}}{k^{3}(2k)!}}}
ζ ( 3 ) = 1 4 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 56 k 2 − 32 k + 5 ( 2 k − 1 ) 2 ( ( k − 1 ) ! ) 3 ( 3 k ) ! {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {56k^{2}-32k+5}{(2k-1)^{2}}}{\frac {((k-1)!)^{3}}{(3k)!}}} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {56k^{2}-32k+5}{(2k-1)^{2}}}{\frac {((k-1)!)^{3}}{(3k)!}}}
ζ ( 3 ) = 8 7 − 8 7 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k 2 − 5 + 12 k k ( − 3 + 9 k + 148 k 2 − 432 k 3 − 2688 k 4 + 7168 k 5 ) k ! 3 ( − 1 + 2 k ) ! 6 ( − 1 + 2 k ) 3 ( 3 k ) ! ( 1 + 4 k ) ! 3 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}-{\frac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}-{\frac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}}
ζ ( 3 ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 205 n k 2 + 250 k + 77 64 ( k ! ) 10 ( ( 2 k + 1 ) ! ) 5 {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {205nk^{2}+250k+77}{64}}{\frac {(k!)^{10}}{((2k+1)!)^{5}}}} {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {205nk^{2}+250k+77}{64}}{\frac {(k!)^{10}}{((2k+1)!)^{5}}}}

ve

ζ ( 3 ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k P ( k ) 24 ( ( 2 k + 1 ) ! ( 2 k ) ! k ! ) 3 ( 3 k + 2 ) ! ( ( 4 k + 3 ) ! ) 3 {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {P(k)}{24}}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}}{(3k+2)!((4k+3)!)^{3}}}} {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {P(k)}{24}}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}}{(3k+2)!((4k+3)!)^{3}}}}

Burada,

P ( k ) = 126392 k 5 + 412708 k 4 + 531578 k 3 + 336367 k 2 + 104000 k + 12463. {\displaystyle P(k)=126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463.\,} {\displaystyle P(k)=126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463.\,}

Bu ifadelerden bazıları Apéry sabitinin birkaç milyon basamağa kadar hesaplanmasında kullanılmıştır.

Broadhurst 1998'ün sağladığı seri açılımı ikili sayı sisteminde çalışmaktadır. Bu, sabitin doğrusal zamanda hesaplanabilmesine olanak tanımaktadır.

Diğer formüller

[değiştir | kaynağı değiştir]

Apéry sabiti ikinci dereceden bir poligamma fonksiyonu ile de ifade edilebilmektedir.

ζ ( 3 ) = − 1 2 ψ ( 2 ) ( 1 ) . {\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1).} {\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1).}

Bilinen basamakları

[değiştir | kaynağı değiştir]

Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı son yıllarda büyük bir artış göstermiştir. Bu, bilgisayarların gelişen başarımı ve daha verimli algoritmaların üretilmiş olmasının bir sonucudur.

Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı
Tarih Basamak sayısı Hesaplamayı Yapan Kişi
Ocak 2007 2,000,000,000 Howard Cheng, Guillaume Hanrot, Emmanuel Thomé, Eugene Zima & Paul Zimmermann
Nisan 2006 10,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Şubat 2003 1,000,000,000 Patrick Demichel & Xavier Gourdon
Şubat 2002 600,001,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Eylül 2001 200,001,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Aralık 1998 128,000,026 Sebastian Wedeniwski Wedeniwski 2001
Şubat 1998 14,000,074 Sebastian Wedeniwski
Mayıs 1997 10,536,006 Patrick Demichel
1997 1,000,000 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1996 520,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1887 32 Thomas Joannes Stieltjes
Bilinmiyor 16 Adrien-Marie Legendre

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ T. Rivoal, La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 331 (2000), s. 267-270.
  2. ^ W. Zudilin, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den biri irrasyonel, Uspekhi Mat. Nauk 56:4 (2001), s. 149-150.

Konuyla ilgili yayınlar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Broadhurst, D.J. (1998), Polilogaritmik basamaklar, hipergeometrik seriler ve ζ(3) ve ζ(5)'in 10 milyonuncu basamakları, arXiv (math.CA/9803067), 13 Temmuz 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi3 Kasım 2008 .
  • Ramaswami, V. (1934), "Riemann'ın ζ-fonksiyonu Üzerine", J. London Math. Soc., cilt 9, ss. 165-169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165 .
  • Apéry, Roger (1979), "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)", Astérisque, cilt 61, ss. 11-13 .
  • van der Poorten, Alfred (1979), "Euler'in ıskaladığı bir ispat. Apéry'nin ζ(3)'ün irrasyonelliğiyle ilgili ispatı.", Math. Intell., cilt 1, ss. 195-203 .
  • Plouffe, Simon (1998), Ramanujan'ın Not Defterinden Bazı Özdeşlikler, 30 Ocak 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi3 Kasım 2008 
  • Plouffe, Simon, 2000. basamağına dek Apéry sabiti, 5 Şubat 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi3 Kasım 2008 .
  • Wedeniwski, S. (2001), 1,000,000. basamağına dek Zeta(3), Project Gutenberg 
  • Srivastava, H. M. (Aralık 2000), "Zeta Fonksiyonları İçin Bazı Yakınsak Seri Açılımları" (PDF), Taiwanese Journal of Mathematics, Çin Halk Cumhuriyeti Matematik Topluluğu (Tayvan), 4 (4), ss. 569-598, ISSN 1027-5487, OCLC 36978119, 19 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi3 Kasım 2008 
  • Euler, Leonhard (1773), "Exercitationes analyticae" (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (Latince), cilt 17, ss. 173-204, 17 Eylül 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)3 Kasım 2008 
  • Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003), Apéry sabiti: z(3), 13 Kasım 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi3 Kasım 2008 

Bu makale PlanetMath'deki Apéry sabiti maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.


  • g
  • t
  • d
İrrasyonel sayılar
  • Chaitin (Ω)
  • Liouville
  • Asal (ρ)
  • 2'nin doğal logaritması ( ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} {\displaystyle \ln 2})
  • Gauss (G)
  • 2'nin on ikinci dereceden kökü (12√2)
  • Apéry (ζ(3))
  • Plastik (ρ)
  • 2'nin karekökü (√2)
  • Süper altın oran (ψ)
  • Erdős–Borwein (E)
  • Altın oran (φ)
  • 3'ün karekökü (√3)
  • 5'in karekökü (√5)
  • Gümüş oran (δS)
  • Euler (e)
  • Pi (π)
  • Şizofrenik
  • Aşkın (Transandantal)
  • Trigonometrik
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Apéry_sabiti&oldid=35634882" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Matematiksel sabitler
  • Analitik sayı teorisi
  • Oransız sayılar
  • Zeta ve L-fonksiyonları
Gizli kategori:
  • Kırmızı bağlantıya sahip ana madde şablonu içeren maddeler
  • Sayfa en son 21.22, 8 Temmuz 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Apéry sabiti
Konu ekle