Barbier teoremi

Geometride, Barbier teoremi, kesin şekli ne olursa olsun, sabit genişliğe sahip her eğrinin çevresinin, genişliğinin $π$ katı olduğunu belirtir.^[1] Bu teorem, ilk olarak Joseph-Émile Barbier tarafından 1860'ta yayınlandı.^[2]

Örnekler

Sabit genişliğe sahip eğrilerin en bilinen örnekleri çember ve Reuleaux üçgenidir. Bir çember için genişlik, çapla aynıdır; $w$ genişliğinde bir çemberin çevresi $\pi w$ 'dur. $w$ genişliğine sahip bir Reuleaux üçgeni, $w$ yarıçaplı üç yaydan oluşur. Bu yayların her birinin merkezi açısı ${\frac {\pi }{3}}$ kadardır, bu nedenle $w$ genişliğindeki Reuleaux üçgenin çevresi, $w$ yarıçaplı bir dairenin çevresinin yarısına yani $\pi w$ 'ya eşittir. Reuleaux poligonları gibi diğer basit örneklerin benzer bir analizi de aynı sonucu verir.

İspatlar

Teoremin bir kanıtı, Minkowski toplamlarının özelliklerini kullanır. Eğer $K$ , sabit $w$ genişliğine sahip bir cisim ise, $K$ ve 180° dönüşünün Minkowski toplamı yarıçapı $w$ ve çevresi $2\pi w$ olan bir disktir. Bununla birlikte, Minkowski toplamı, dışbükey cisimlerin çevresi üzerinde doğrusal olarak etki eder, bu nedenle $K$ 'nin çevresi, teoremin belirttiği gibi $\pi w$ olan bu diskin çevresinin yarısı olmalıdır.^[3]

Alternatif olarak teorem, herhangi bir eğrinin uzunluğunun, eğriyi kesen çizgiler kümesinin ölçüsüne eşit olduğu ve bunların kesişme sayılarıyla çarpıldığı integral geometrideki Crofton formülünü takip eder. Aynı sabit genişliğe sahip herhangi iki eğri, aynı ölçüye sahip çizgi kümeleriyle kesişir ve bu nedenle aynı uzunluktadırlar. Tarihsel olarak, Crofton formülünü Barbier teoreminden daha sonra ve ondan bağımsız olarak türetmiştir.^[4]

Teoremin temel bir olasılık kanıtı, Buffon'un iğnesinde bulunabilir.

Daha yüksek boyutlar

Barbier'in sabit genişliğe sahip yüzeyler için geliştirdiği teoreminin analojisi yanlıştır. Özellikle birim küre, $4\pi \approx 12,566$ yüzey alanına sahipken, aynı sabit genişlikteki bir Reuleaux üçgeninin dönme yüzeyi ile $8\pi -{\tfrac {4}{3}}\pi ^{2}\approx 11,973$ yüzey alanına sahiptir.^[5]

Dış bağlantılar ve ilave okumalar

Eric W. Weisstein, Barbier's Theorem (MathWorld)
"Barbier teoremi". Encyclopedia of Mathematics. 4 Şubat 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi.
Ross Honsberger (1970), "The Theorem of Barbier.", Ingenuity in Mathematics, Mathematical Association of America, ss. 157-64, doi:10.5948/UPO9780883859384.021
Fillmore, J. P. (1970), "Barbier's theorem in the Lobachevski plane", Proceedings of the American Mathematical Society, 24 (4), ss. 705-709, JSTOR 2037306
Cieslak, W., & Gozdz, S. (1990), "On Barbier's theorem", Matematički Vesnik, 42 (108), ss. 11-16
P. V. Araújo (1996), "Barbier's theorem for the sphere and the hyperbolic plane", Enseignment Mathematique, 2, 42 (3-4), ss. 295-309, Zbl 0937.53002
Bogomolny, A. (Eylül 2001), "The theorem of Barbier", MAA Online, 26 Ocak 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi
Klamkin, M. S. (1955), "On Barbier's Solution of the Buffon Needle Problem", Mathematics Magazine, 28 (3), ss. 135-138, JSTOR 3029853
Yaz, N (2005), Sabit Genişlikli Eğrilerin Kinematiği (PDF), Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, s. 14, Doktora Tezi

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ Lay (2007), Convex Sets and Their Applications, Dover, ISBN 9780486458038
^ Barbier (1860), "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert" (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 2^e série (Fransızca), cilt 5, ss. 273-286, 20 Nisan 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)10 Ekim 2020, Özellikle sayfa 283–285 bakınız.
^ "The Theorem of Barbier (Java)". Cut-the-Knot. 23 Mayıs 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi.
^ Sylvester (1890), "On a funicular solution of Buffon's "problem of the needle" in its most general form" (PDF), Acta Mathematica, 14 (1), ss. 185-205, doi:10.1007/BF02413320, 3 Mayıs 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)10 Ekim 2020 .
^ Bayen (2012), Semidefinite programming for optimizing convex bodies under width constraints, 27 (6), ss. 1073-1099, doi:10.1080/10556788.2010.547580, 17 Aralık 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi10 Ekim 2020 .

[1] Lay (2007), Convex Sets and Their Applications, Dover, ISBN 9780486458038

[2] Barbier (1860), "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert" (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 2^e série (Fransızca), cilt 5, ss. 273-286, 20 Nisan 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)10 Ekim 2020, Özellikle sayfa 283–285 bakınız.

[3] "The Theorem of Barbier (Java)". Cut-the-Knot. 23 Mayıs 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi.

[4] Sylvester (1890), "On a funicular solution of Buffon's "problem of the needle" in its most general form" (PDF), Acta Mathematica, 14 (1), ss. 185-205, doi:10.1007/BF02413320, 3 Mayıs 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)10 Ekim 2020 .

[5] Bayen (2012), Semidefinite programming for optimizing convex bodies under width constraints, 27 (6), ss. 1073-1099, doi:10.1080/10556788.2010.547580, 17 Aralık 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi10 Ekim 2020 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]