Bell serisi

Matematik'te, Bell serisi formal kuvvet serisi aritmetik fonksiyon özellikleri çalışmasında kullanılır. Bell serisi Eric Temple Bell tarafından geliştirildi.

Verilen aritmetik fonksiyon $f$ ve bir asal $p$ ile formel kuvvet serisi $f_{p}(x)$, Bell serisi $f$ modül $p$ olarak adlandırılır:

$f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.$

iki çarpım fonksiyonu olarak gösterilebilir, eşdeğeri Bell serisidir; Bu bazen teklik teoremi olarak adlandırılır. Verilen çarpım fonksiyonu $f$ ve $g$,dir ama sadece ve sadece $f=g$ ise; bütün $p$ asalları için

$f_{p}(x)=g_{p}(x)$

iki seri çarpımı (çarpım teoremidir.) ; herhangi iki aritmetik fonksiyon $f$ ve $g$,$h=f*g$ yazılırsa buna Dirichlet konvolusyon teoremi denir. her asal için $p$ için,:

$h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,$

Özellikle, bir Dirichlet ters önemsiz Bell serisi tarafından bulunur.

Eğer $f$ 'tamamen çarpımsal ise;

$f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.$

Örnekler

Bilinen bazı aritmetik fonksiyonların, bir tablo halinde ifadesi:

• Moebius fonksiyonu $\mu$, $\mu _{p}(x)=1-x.$'dır
• Euler Totient $\phi$ $\phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}$'dır.
• çarpım eşdeğerliği Dirichlet konvolusyon $\delta$ $\delta _{p}(x)=1$'dır.
• Liouville fonksiyonu $\lambda$ $\lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}$'dır
• kuvvet fonksiyonu Id_k $({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}$'dır.burada, Id_k tam çarpım fonksiyonu $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$'dır
• bölme fonksiyonu $\sigma _{k}$ $(\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}$'dır.

Kaynakça

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3