Bernoulli diferansiyel denklemi

Matematikte Bernoulli diferansiyel denklemi, birinci mertebeden bir adi diferansiyel denklemin açık biçimi şöyledir:

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$, (Denklem I)

Yukarıdaki denklemde n≠1 ve n≠0 olursa bu denkleme Bernoulli diferansiyel denklemi denir. Bu ad, Jakob Bernoulliye ithaf olsun diye 1695 yılında konuldu. Bernoulli denklemleri özeldir. Çünkü tam çözümleri bilinir ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerdir.

Çözüm

Yukarıdaki adi diferansiyel denklemde eşitliğin her iki tarafı $y^{n}$ ile bölünürse denklem aşağıdaki gibi olur:

${\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {P(x)}{y^{n-1}}}=Q(x)$, (Denklem II)

Burada aşağıdaki gibi bir değişken değiştirme yapılırsa;

$w={\frac {1}{y^{n-1}}}$, (Denklem III) türevi;

$w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'$, (Denklem IV)

(Denklem III) ve (Denklem IV), (Denklem II)'de yerine konulursa;

${\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)$, (Denklem V)

Bu adımda görüldüğü üzere denklem birinci mertebeden lineer diferansiyel denkleme dönüştü. Bundan sonra aşağıdaki integrasyon çarpanı kullanılarak denklem çözülebilir.

$W(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}$. (Denklem VI)

Örnek

Aşağıdaki Bernoulli denklemi örneğimiz olsun.

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$, (Eşitlik I)

$y=0$, bir çözümdür. Eşitlik $y^{2}$ ile bölünürse

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$, (Eşitlik II)

(Eşitlik II)'de aşağıdaki gibi bir değişken değişimi uygulanırsa;

$w={\frac {1}{y}}$, (Eşitlik III) türevi;

$w'={\frac {-y'}{y^{2}}}$. (Eşitlik IV)

(Eşitlik III) ve (Eşitlik IV), (Eşitlik II)'de yerine konulursa;

$w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}$, (Eşitlik V)

Aşağıdaki integrasyon çarpanı kullanılırsa denklem çözülebilir;

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.$ (Eşitlik VI)

Her iki tarafı $M(x)$ ile çarpalım,

$w'x^{2}+2xw=x^{4},\,$ (Eşitlik VII)

Sol taraf $wx^{2}$'nin türevidir. Bu denklemde her iki tarafın integrali alınırsa;

$\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx$ (Eşitlik VIII)

$wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$ (Eşitlik IX)

${\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$ (Eşitlik X)

$y$'nin çözümü;

$y={\frac {5x^{2}}{x^{5}+C}}$ (Eşitlik XI)

Yukarıda da belirtildiği gibi $y=0$ da bir çözümdür.

MATLAB kullanarak bunun doğruluğunu görebiliriz;

x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x')

Yukarıdaki söz dizimi her iki çözümü verir;

0
x^2/(x^5/5 + C1)

Ayrıca, $y=0$ hesaba katılmadan yapılan, çözümü Wolfram Alpha'da görebilirsiniz.