Bloch teorisi

Bloch dalgalarının silisyum kristalinde oluşturduğu izoyüzeyler

Bloch teorisi, ilk defa Felix Bloch tarafından önerilmiştir. Teoriye göre bir Bloch dalgası ya da durumu, periyodik potansiyel içerisinde bulunan bir parçacığa ait dalga fonksiyonudur. Teori böyle bir sisteme ait olan özvektörlerin bir düzlem dalga zarf fonksiyonuyla bir periyodik fonksiyonun (periyodik Bloch fonksiyonu) $\,u_{n\mathbf {k} }(r)$ çarpımından elde edilebileceğini söyler. Bloch fonksiyonu ifade edilen potansiyelle özdeş peryodikliğe sahiptir:

$\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ).$

Bunlara karşılık gelen enerji özdeğerleri ϵ_n(k) = ϵ_n(k + K), ters örgü vektörünün K vasıtasıyla peryodiklik kazanır. n indeksine karşılık gelen her bir enerji k dalga vektörü ile sürekli değişir ve band indeksi n ile tanımlanan bir enerji bandı şeklini alır. Verilen bir n değerine karşılık gelen özdeğerler k da peryodiktir; ϵ_n(k) ya ait tüm kesikli değerler ters örgünün ilk Brillouin bölgesindeki k-değerleri içerisinde yerlerini alırlar.

İşin aslı, Bloch teorisi kristallerdeki yer değiştirme simetrisinin doğrudan bir sonucudur. Öyle ki kristal, $\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a_{i}} \!$ şeklinde verilen yer değiştirme hareketi $\mathbf {r} \!$ sırasında değişmez kalır. Burada $n_{i}\!$ tam sayı, $\mathbf {a_{i}} \!$ ilkel örgü vektörüdür. Eğer ${\hat {T}}_{\mathbf {r} }\!$, $\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a_{i}} \!$ ile ifade edilen bir yönelime sahip dalga fonksiyonuna uygulanabilir bir yer değiştirme operatörü ise, kolaylıkla anlaşılacağı üzere operatör $\mathbf {r} \!$ ile eşdeğer bir kombinasyon özelliği gösterir.