Borel toplamı

Borel toplamı dizilerin toplamına ilişkin bir genellemedir. Bu terim, herhangi bir toplam değeri olmayan diziler için bile bir büyüklük değeri tanımlayabilmektedir.

Tanım

$y=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{-k}$

z'de bir resmi üs dizisi olsun ve $y$'nin Borel dönüşümü ${\mathcal {B}}y$ aşağıdaki biçimde tanımlansın.

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k+1}}{k!}}t^{k}$

1. $\scriptstyle {\mathcal {B}}y$'nin sıfırdan farklı bir yakınsaklık yarıçapı olduğu,
2. $\scriptstyle {\mathcal {B}}y$'nin $\scriptstyle {\widehat {y}}(t)$ gibi bir işleve tüm pozitif gerçel sayılar için sürdürülebildiği,
3. $\scriptstyle {\widehat {y}}(t)$'nin gerçel sayılar kümesinde en çok üssel hızla büyüdüğü

varsayılsın.

Bu durumda y'nin Borel toplamı, $\scriptstyle {\widehat {y}}(t)$'nin Laplace dönüşümüne eşit olur. Bu işlevin var oluşu 3. koşul tarafından güvence altına alınmaktadır.

Geçmiş

Nicholas M. Katz, Émile Borel'in gençliğinden bir anı anlatıyor:

Borel, o zamanlar tanınmayan bir genç, ürettiği toplam yönteminin klasik ıraksak diziler için 'doğru' sonuçlar verdiğini gördü. Bunun üzerine, zamanın karmaşık çözümleme uzmanı Mittag-Leffler'i görmek için Stockholm'e gitmeye karar verdi. Mittag-Leffler, Borel'i nazik bir biçimde dinledikten sonra elini öğretmeni Weierstrass'ın kitabının üzerine koydu ve ekledi: "Usta buna izin vermiyor".

Uygulamalar

Borel toplamı, fizikçilerin bir dizinin toplamını bulmaya çalıştıkları düzensizlik kuramı çalışmalarında sıkça kullanılmaktadır.

Borel toplamının dizilerden (süreksiz) integrallere (sürekli) dönüşümü şu yolla yapılmaktadır:

$\int _{0}^{\infty }s^{-x}f(x)\,dx\rightarrow s\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)t^{x}}{\Gamma (x+1)}}\exp(-st)\,dt\,dx={\frac {F(\ln(s))}{\ln(s)}}$

Burada F(s), f(x)'in Laplace dönüşümünü belirtmektedir. Bu ifade

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\omega x}\,dx$

türündeki Fourier integrallerine sonlu bir anlam kazandırmaktadır.