Brahmagupta üçgeni

Brahmagupta üçgeni, kenar uzunlukları ardışık pozitif tam sayılar ve alanı pozitif bir tam sayı olan bir üçgendir. Kenar uzunlukları 3, 4, 5 olan üçgen bir Brahmagupta üçgenidir ve kenar uzunlukları 13, 14, 15 olan üçgen de öyledir. Brahmagupta üçgeni, kenar uzunlukları ve alanı pozitif tam sayılar olan bir üçgen olan Heron üçgeninin özel bir durumudur, ancak kenar uzunluklarının ardışık tam sayılar olması gerekmez. Brahmagupta üçgeni, bu listeyi hesaplama yöntemini açıklamadan bu tür ilk sekiz üçgenin bir listesini veren Hint astronom ve matematikçi Brahmagupta (MS 598 - 668) onuruna bu şekilde adlandırılır.

Brahmagupta üçgeni, 1996 yılında yayınlanan bir makalede kavramı tartışan Charles R. Fleenor'un onuruna Fleenor-Heron üçgeni olarak da adlandırılır. Brahmagupta üçgenlerinin bilindiği diğer isimlerden bazıları süper-Heron üçgeni ve neredeyse eşkenar Heron üçgenidir.

Tüm Brahmagupta üçgenlerini bulma problemi eski bir problemdir. Problemin kapalı formda bir çözümü 1880 yılında Reinhold Hoppe tarafından bulunmuştur.

Brahmagupta üçgenlerinin oluşturulması

Bir Brahmagupta üçgeninin kenar uzunlukları $t-1$, $t$ ve $t+1$ olsun, burada $t$ 1'den büyük bir tam sayıdır. Heron formülü kullanılarak, üçgenin $A$ alanının şu şekilde olduğu gösterilebilir:

$A={\big (}{\tfrac {t}{2}}{\big )}{\sqrt {3{\big [}{\big (}{\tfrac {t}{2}}{\big )}^{2}-1{\big ]}}}$

$A$ bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, $t$ çift olmalıdır ve bu nedenle $t=2x$ olarak alınabilir, burada $x$ bir tam sayıdır. Böylece,

$A=x{\sqrt {3(x^{2}-1)}}$

Çünkü ${\sqrt {3(x^{2}-1)}}$ bir tam sayı olmak zorundadır, bazı $y$ tam sayıları için $x^{2}-1=3y^{2}$ olmalıdır. Dolayısıyla, $x$ aşağıdaki Diophantine denklemini sağlamalıdır:

$x^{2}-3y^{2}=1$.

Bu, $N=3$ olmak üzere $x^{2}-Ny^{2}=1$ Pell denklemi olarak adlandırılan duruma bir örnektir. Pell denklemini çözme yöntemleri $x$ ve $y$ tam sayılarının değerlerini bulmak için uygulanabilir.

$x_{n}$ ve $y_{n}$'nin $x_{n}^{2}-3y_{n}^{2}=1$ denklemini sağlayan tam sayılar olduğu bir Brahmagupta üçgeni.

Açıktır ki $x=2$, $y=1$, $x^{2}-3y^{2}=1$ denkleminin bir çözümüdür. Bunu bir başlangıç çözümü olarak alırsak $x_{1}=2,y_{1}=1$ denkleminin tüm çözümlerinin $\{(x_{n},y_{n})\}$ kümesi aşağıdaki yineleme bağıntıları kullanılarak oluşturulabilir

$x_{n+1}=2x_{n}+3y_{n},\quad y_{n+1}=x_{n}+2y_{n}{\text{ }}n=1,2,\ldots \ \ {\text{ için }}$

veya aşağıdaki bağıntılarla

${\begin{aligned}x_{n+1}&=4x_{n}-x_{n-1}{\text{ }}n=2,3,\ldots \ {\text{ için }}{\text{ }}x_{1}=2,x_{2}=7\ {\text{ olmak üzere}}\\y_{n+1}&=4y_{n}-y_{n-1}{\text{ }}n=2,3,\ldots \ {\text{ için }}{\text{ }}y_{1}=1,y_{2}=4\ {\text{ olmak üzere}}.\end{aligned}}$

Aşağıdaki özellik kullanılarak da oluşturulabilirler:

$x_{n}+{\sqrt {3}}y_{n}=(x_{1}+{\sqrt {3}}y_{1})^{n}{\text{ }}n=1,2,\ldots \ {\text{ için}}$

Aşağıda $x_{n}$ ve $y_{n}$'nin ilk sekiz değeri ve bunlara karşılık gelen Brahmagupta üçgenleri verilmiştir:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8
$x_{n}$	2	7	26	97	362	1351	5042	18817
$y_{n}$	1	4	15	56	209	780	2911	10864
Brahmagupta üçgeni	3,4,5	13,14,15	51,52,53	193,194,195	723,724,725	2701,2702,2703	10083,10084,10085	37633,37634,337635

$\{x_{n}\}$ dizisi, Çevrimiçi Tam sayı Dizileri Ansiklopedisi (OEIS: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)'te A001075 ve $\{y_{n}\}$ dizisi OEIS'te A001353 girdisidir.

Genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenleri

Bir Brahmagupta üçgeninde kenar uzunlukları, ortak farkı 1 olan bir tam sayı aritmetik dizisi oluşturur. Genelleştirilmiş bir Brahmagupta üçgeni, kenar uzunluklarının pozitif tam sayıların aritmetik dizisini oluşturan bir Heron üçgenidir. Genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenleri Brahmagupta üçgenlerinden kolayca oluşturulabilir. Eğer $t-1,t,t+1$ bir Brahmagupta üçgeninin kenar uzunlukları ise, herhangi bir pozitif $k$ tam sayısı için, $k(t-1),kt,k(t+1)$ tam sayıları genelleştirilmiş bir Brahmagupta üçgeninin ortak farkı $k$ olan bir aritmetik dizi oluşturan kenar uzunluklarıdır. Bu şekilde oluşturulmayan genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenleri vardır. İlkel bir genelleştirilmiş Brahmagupta üçgeni, kenar uzunluklarının 1'den başka ortak çarpanı olmayan bir genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenidir.

Bu tür üçgenlerin kenar uzunluklarını bulmak için, kenar uzunlukları $t-d,t,t+d$ olsun; burada $b,d$ $1\leq d\leq t$ koşulunu sağlayan tam sayılardır. Heron formülünü kullanarak, üçgenin alanının $A$ olduğu gösterilebilir:

$A={\big (}{\tfrac {b}{4}}{\big )}{\sqrt {3(t^{2}-4d^{2})}}$.

$A$'nın bir tam sayı olması için $t$ çift olmalıdır ve bazı tam sayılar için $t=2x$ alınabilir. Bu şu anlama gelir:

$A=x{\sqrt {3(x^{2}-d^{2})}}$.

Yine, $A$ bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, $x^{2}-d^{2}$ bazı $y$ tam sayıları için $3y^{2}$ biçiminde olmak zorundadır. Dolayısıyla, genelleştirilmiş Brahmagupta üçgenlerinin kenar uzunluklarını bulmak için aşağıdaki homojen ikinci dereceden Diophantine denkleminin çözümlerini bulmak gerekir:

$x^{2}-3y^{2}=d^{2}$.

Bu denklemin tüm ilkel çözümlerinin şu şekilde verildiği gösterilebilir

${\begin{aligned}d&=\vert m^{2}-3n^{2}\vert /g\\x&=(m^{2}+3n^{2})/g\\y&=2mn/g\end{aligned}}$

burada $m$ ve $n$ pozitif asal tam sayılardır ve $g={\text{EBOB}}(m^{2}-3n^{2},2mn,m^{2}+3n^{2})$'dir.

Eğer $m=n=1$ alırsak $(3,4,5)$ Brahmagupta üçgenini elde ederiz. Eğer $m=2,n=1$ alırsak $(13,14,15)$ Brahmagupta üçgenini elde ederiz. Ancak $m=1,n=2$ alırsak, bir Brahmagupta üçgenine indirgenemeyen genelleştirilmiş $(15,26,37)$ Brahmagupta üçgenini elde ederiz.

Ayrıca bakınız

• Brahmagupta polinomları
• Brahmagupta dörtgeni