Brunn-Minkowski teoremi

Matematikte bazı teoremler yalnızca bir eşitsizlik olmaktan çok daha fazlasını ifade eder. Brunn–Minkowski teoremi, konveks geometri ve analiz arasındaki güçlü bağlardan biridir. Bu teorem, kümelerin Minkowski toplamı üzerinden hacimlerin nasıl davrandığını açıklar.

Minkowski Toplamı

A, B ⊆ Rn

iki küme olsun. Minkowski toplamı şu şekilde tanımlanır:

A+B={a+b∣a∈A,b∈B}.

Yani A kümesindeki her noktayla B kümesindeki her noktayı toplar, ortaya çıkan tüm noktaları yeni bir küme olarak kabul ederiz.

Teorem

A,B⊆Rn ölçülebilir (özellikle konveks) kümeler olsun. O zaman Brunn–Minkowski teoremi şunu söyler:

∣A+B∣ n1 ​≥ ∣A∣ n1+∣B∣n1​

Burada ∣⋅∣, n-boyutlu Lebesgue ölçüsüdür (yani hacim).

Başka bir ifadeyle: Minkowski toplamının hacminin n-inci kökü, kümelerin hacimlerinin n-inci köklerinin toplamından küçük olamaz.

Bu eşitsizlik bize şunu anlatır:

• İki şekli birleştirdiğinizde, ortaya çıkan yeni şekil hacim bakımından tahmin ettiğinizden “daha büyük” olur.
• Özellikle konveks kümelerde bu büyüme çok düzenlidir.

Örnek (2 Boyutta)

Diyelim ki A bir alanı ∣A∣=1 olan kare, B ise alanı ∣B∣=4 olan başka bir kare olsun.

Teoreme göre:

∣A+B∣1/2≥∣A∣1/2+∣B∣1/2 ∣A+B∣1/2≥1+2=3 ∣A+B∣≥9.

Yani iki karenin Minkowski toplamı en az 9 alanına sahip olur.

Brunn–Minkowski teoremi, basit bir eşitsizlik gibi görünse de, modern matematikte temel bir araçtır. İzoperimetrik eşitsizlik, kütle taşıma teorisi ve bilgi teorisindeki bazı sonuçlar bu güçlü ilkenin doğrudan veya dolaylı ürünleridir.