Cauchy yakınsaklık testi

Cauchy yakınsaklık testi, sonsuz serilerin yakınsaklığını bulmak için kullanılan test yöntemlerinden birisidir. Bu yakınsama ölçütü, bu yöntemi 1821'de yazdığı Cours d'Analyse adlı ders kitabında yayınlayan Augustin-Louis Cauchy'nin adını taşımaktadır.

İfade

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ serisinin yakınsaklığı ancak ve ancak her $\varepsilon >0$ için

$n>N$ olan tüm $n$ 'ler ve $p\geq 1$ için $|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$

önermesini sağlayan bir N$\in \mathbb {N}$ sayısı varsa mümkündür.

Açıklama

Bu testin geçerli olmasının sebebi $\mathbb {R}$ veya $\mathbb {C}$ gibi uzayların tam metrik uzay olmasıdır. Çünkü, metrik uzay bağlamında serilerin yakınsaklığı ancak ve ancak kısmî toplamların yani $s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ dizilerinin bir Cauchy dizisi olmasıyla mükündür. Burada bahsedilen Cauchy dizisinin tanımı ise şudur: Her $\varepsilon >0$ için bir N sayısı vardır öyle ki her n, m > N için $|s_{m}-s_{n}|<\varepsilon$ sağlanır.

Serilerin tam metrik uzaylardaki yakınsaklığının Cauchy dizisi tanımına taşınabilmesinin altında yatan gerçek metrik uzaylarda bütün Cauchy dizilerinin aslında yakınsak olduğudur.

Ayrıca bakınız

• Seri
• Yakınsak seriler

Kaynakça

Bu makale PlanetMath'deki Yakınsaklık için Cauchy ölçütü maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.