Cebirsel varyete

Bükülmüş kübik, projektif bir cebirsel çeşittir.

Cebirsel varyeteler, matematiğin bir alt alanı olan cebirsel geometride çalışmanın ana nesneleridir. Klasik olarak cebirsel çeşitlilik, bir polinom denklem sisteminin gerçek veya karmaşık sayılar üzerindeki çözüm kümesi olarak tanımlanır. Modern tanımlamalar orijinal tanımın arkasındaki geometrik sezgiyi korumaya çalışırken kavramı birkaç farklı şekilde genelleştirir.

Cebirsel çeşitliliğin tanımına ilişkin önermeler biraz farklılık gösterir. Örneğin, bazı tanımlar cebirsel varyetenin indirgenemez olmasını gerektirir, bu da Zariski topolojisinde kapalı olan iki küçük kümenin birleşimi olmadığı anlamına gelir. Bu tanım altındaki indirgenemez cebirsel çeşitlere cebirsel kümeler denir. Diğer tanımlar indirgenemezlik gerektirmez.

Cebirin temel teoremi, karmaşık sayı katsayılarına sahip değişkendeki bir monik polinomun (cebirsel bir nesne) karmaşık düzlemdeki kök kümesi (geometrik bir nesne) tarafından belirlendiğini göstererek cebir ve geometri arasında bağlantı kurmaktadır. Bu sonucu genelleştirerek, Hilbert'in Nullstellensatz'ı, polinom halkalarının idealleri ile cebirsel kümeler arasında temel bir bağlam sağlar. Matematikçiler, Nullstellensatz'ı ve ilgili sonuçları kullanarak cebirsel kümelerle ilgili sorularla halka teorisi soruları arasında güçlü bir benzerlik kurmuşlardır. Bu karşılık gelme durumu cebirsel geometrinin tanımlayıcı bir özelliğidir.