Cramer kuralı

Cramer kuralı, lineer denklem sistemlerinin determinanlar yardımıyla çözümünü sağlayan yöntemlerden biridir. İsviçreli matematikçi Gabriel Cramer tarafından 1750'lerde geliştirilmiştir. Yöntem, kare şeklindeki (n×n) lineer denklem sistemlerinde değişkenlerin her biri için ayrı ayrı formüller oluşturarak sonuca ulaşır.

Tanım

Cramer kuralı, n bilinmeyenli n denklemden oluşan kare matris sistemlerinde, denklem sisteminin çözümünü, katsayılar matrisinin determinantı ve kısmi matrislerin determinantları yardımıyla ifade eder. Eğer sistemin katsayılar matrisinin determinantı sıfır değilse, her bir bilinmeyen için çözüm aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

xₖ = (determinantı, k. sütun ile değiştirilmiş matris) / (determinantı, katsayılar matrisi)

Temel Kavramlar

Determinant: Kare bir matrisin ölçeklendirme faktörünü ifade eden bir skaler değerdir.
Katsayılar Matrisi: Lineer denklem sisteminde her denklemdeki bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan matristir.
Kısmi Matris: Belirli bir bilinmeyen için katsayılar matrisinin, o bilinmeyene ait sütunun sistemin sağ tarafındaki sabit değerler ile değiştirilmesiyle oluşturulan matristir.

Matematiksel Gösterim

Genel bir n×n lineer denklem sistemi:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ = b₂

…

aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ = bₙ

Katsayılar matrisi A, bilinmeyen vektörü x ve sabit terimler vektörü b şu şekilde tanımlanır:

A = [aᵢⱼ] (i, j = 1, 2, …, n)

x = [x₁, x₂, …, xₙ]ᵀ

b = [b₁, b₂, …, bₙ]ᵀ

Eğer det(A) ≠ 0 ise, xₖ için çözüm:

xₖ = det(Aₖ) / det(A)

burada Aₖ, A matrisinin k. sütununun b vektörü ile değiştirilmiş halidir.

Uygulama Örneği

Örnek olarak 2 bilinmeyenli 2 denklemlik sistem ele alınsın:

3x + 2y = 5

x − y = 1

Katsayılar matrisi:

A = [ [3, 2],

[1, -1] ]

det(A) = (3 × (-1)) − (2 × 1) = -3 − 2 = -5

x için matris A₁ (birinci sütun b vektörü ile değiştirilmiş hali):

A₁ = [ [5, 2],

[1, -1] ]

det(A₁) = (5 × (-1)) − (2 × 1) = -5 − 2 = -7

x = det(A₁) / det(A) = (-7)/(-5) = 7/5

y için matris A₂ (ikinci sütun b vektörü ile değiştirilmiş hali):

A₂ = [ [3, 5],

[1, 1] ]

det(A₂) = (3 × 1) − (5 × 1) = 3 − 5 = -2

y = det(A₂) / det(A) = (-2)/(-5) = 2/5

Dolayısıyla sistemin çözümü x = 7/5, y = 2/5 şeklinde bulunur.

Avantajlar ve Sınırlamalar

Avantajlar: • Doğrudan formülle hesaplama imkanı sunar. • Teorik açıdan lineer denklem sistemlerinin determinan ile bağlantısını ortaya koyar.
Sınırlamalar: • Büyük sistemlerde hesaplama maliyeti yüksek olabilir. • Katsayılar matrisinin determinantı sıfır ise yöntem kullanılamaz (sistem ya uyumsuz ya da sonsuz çözüm içerir).

Tarihçe

Cramer kuralı, 1750'lerde İsviçreli matematikçi Gabriel Cramer tarafından tanıtılmıştır. O dönemlerde lineer denklem sistemlerinin analitik olarak çözümü önemli bir problem iken, Cramer'ın önerdiği yöntem, determinan kavramının matematikteki yerini sağlamlaştırmıştır.

Kaynakça

Cramer, G. (1750). "Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques."
Strang, G. (2009). "Introduction to Linear Algebra." Wellesley-Cambridge Press.
Lay, D. C. (2012). "Linear Algebra and Its Applications." Pearson.

Dış Bağlantılar