D'Alembert işleci

D'Alembert işlemcisi, özel görelilikte, elektromanyetizmada ve dalga kuramında; Minkowski uzayını ve Einstein alan denklemlerinin diğer çözümlerini sağlayan Laplace işlemcisine d'Alembert işlemcisi veya dalga işlemcisi denir.

İşlemci, $\square$ ya da $\square ^{2}$ olarak da gösterilebilir. Kare olmasının nedeni 4 boyutlu Minkowski uzayını temsil ediyor olmasıdır. Aynı şekilde Laplace işlemcisindeki $\nabla ^{2}$ simgesi de 3 boyutlu uzayı temsil etmektedir. Kuantum alan kuramında daha çok $\partial ^{2}$ gösterimi yeğlenir.

Tanım

Minkowski uzayında d'Alembert işlemcisinin açık tanımı, c ışık hızı olmak üzere,

$\square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}$

şeklindedir. Burada açıkça görüleceği gibi uzay 4 boyutludur. Ancak sâdelik adına (x,y,z,t) koordinatları yerine (x,y,z,ict) seçilerek,

$\square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial (ict)^{2}}$

biçimine dönüşür. Burada i sanal birim]dir.

Einstein toplam uzlaşımı ile $\mu ={0,1,2,3}={ict,x,y,z}$ koordinatlar ve $\partial _{\mu }={\partial \over \partial x_{\mu }}$ türevler olmak üzere d'Alembert işlemcisi,

$\square =\partial ^{2}=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\nu \mu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }$

olarak ifâde edilebilir ki burada $\eta ^{\nu \mu }$ Minkowski metriğidir.

Ayrıca Laplace işlemcisi ile de tanımlanabilir:

$\square =\nabla ^{2}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}$

Fizikte d'Alembert işlemcisi

Dalga denklemi, d'Alembert işlemcisi ile ifâde edilebilir:

$\square \Psi =0$

burada $\Psi$ dalga fonksiyonudur.