Düzlem dalga açılımı

Fizikte,düzlem dalga açılımı küresel dalgaların bir toplamı olarak bir düzlem dalgayı ifade eder,

$e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=e^{ikr\cos \theta }=\sum _{l=0}^{\infty }i^{l}(2l+1)j_{l}(kr)P_{l}(\cos \theta ),$

Burada $i={\sqrt {-1}}$.dalga vektör $\mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})$ $k=|\mathbf {k} |$ uzunluğu var ve $\mathbf {r} =(x,y,z)$ vektörü $r=|\mathbf {r} |$ uzunluğu vardı. $\mathbf {k}$ ve $\mathbf {r}$ vektörler arası açı $\theta$dir. $j_{l}$ fonksiyonu Küresel Bessel fonksiyonları ve $P_{l}$ Legendre polinomudur.

Küresel harmonik toplama teoremi denklemi ile

$e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}i^{l}j_{l}(kr)Y_{lm}(\theta _{r},\phi _{r})Y_{lm}^{\ast }(\theta _{k},\phi _{k}),$

olarak yazılabilir. burada $(r,\theta _{r},\phi _{r})$ ve $(k,\theta _{k},\phi _{k})$

sırasıyla $\mathbf {r}$ ve $\mathbf {k}$ vektörlerin Küresel koordinatlarıdır

ve $Y_{lm}$ fonksiyonları Küresel harmoniklerdir.

Uygulamalar

Düzlem dalga açılımı uygulamaları içindedir

• Akustik
• Optikler
• Kuantum saçılım teorisi

Ayrıca bakınız

• Helmholtz denklemi
• Bilgisayarlı elektromanyetizmada Düzlem dalga açılım metodu

Kaynakça

• "Equation 10.60.7", Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology 
• Rami Mehrem, The Plane Wave Expansion, Infinite Integrals and Identities Involving Spherical Bessel Functions, 7 Şubat 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi2 Mayıs 2014