De Moivre formülü - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 İndüksiyon ile ispat
  • 2 Kosinus ve sinus için tek tek formüller
  • 3 Genelleştirme
  • 4 Uygulamalar
  • 5 Ayrıca bakınız
  • 6 Dış bağlantılar

De Moivre formülü

  • العربية
  • Azərbaycanca
  • Български
  • বাংলা
  • Català
  • Čeština
  • Чӑвашла
  • Cymraeg
  • Dansk
  • Deutsch
  • English
  • Esperanto
  • Español
  • Eesti
  • فارسی
  • Suomi
  • Français
  • Galego
  • עברית
  • हिन्दी
  • Hrvatski
  • Magyar
  • Հայերեն
  • İtaliano
  • 日本語
  • ქართული
  • Қазақша
  • ភាសាខ្មែរ
  • 한국어
  • Nederlands
  • Norsk bokmål
  • Polski
  • Piemontèis
  • Português
  • Română
  • Русский
  • Simple English
  • Slovenščina
  • Српски / srpski
  • Svenska
  • தமிழ்
  • Українська
  • اردو
  • Oʻzbekcha / ўзбекча
  • Tiếng Việt
  • 中文
  • 粵語
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematikte de Moivre formülü, 18. yüzyıl Fransız matematikçisi Abraham de Moivre anısına isimlendirilmiş ve herhangi bir karmaşık sayı (özellikle herhangi bir gerçel sayı x ve herhangi bir tam sayı n) için şu ifadenin geçerli olduğunu önerir:

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) . {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,} {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,}

Bu formülün önemi (burada önünde i sanal birim ifade ile verilmiş olan) karmaşık sayılar ile trigonometri arasındaki bağlantıyı açıklamasındadır.

Bu formülde "cos x + i sin x" bazen "cis x" olarak kısaltılabilir.

Formülün sol tarafi binom teoremi kullanarak açılıp gerçel kısmına ve sanal kısmına yeni şekil verilirse, cos(nx) ve sin(nx) için yalnızca sin(x) ve cos(x) kullanan uygulamalı matematikde çok önemli ifadeler elde edilir.

Bu formülün diğer bir uygulaması ise De Moivre sayısı adı verilen birimin köklerini (yani 1in köklerini) karmaşık sayılar (yani zn = 1 ise zkarmaşık sayıları) ile ifade edilmesini sağlamasıdır

Tarihi olarak başka şekilde ispat edilmekle beraber, de Moivre'in formülü Euler formülünü kullanarak hemen şöyle ispat edilebilir:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,} {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,}

ve üstel yasaya göre

( e i x ) n = e i n x . {\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,} {\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,}

O halde Euler formülü ile,

e i ( n x ) = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,} {\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}. olur.

İndüksiyon ile ispat

[değiştir | kaynağı değiştir]

Üç değişik hal ele alınabilir:

Eğer n > 0 ise, matematiksel tümevarım ile şöyle ilerleyebiliriz.

Eğer n = 1 ise, sonuç açıkça geçerlidir. Hipotezimiz için, sonucun bir tam sayı olan k için geçerli olduğunu varsayalım. Yani varsayımımız şu olsun:

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) k = cos ⁡ ( k x ) + i sin ⁡ ( k x ) . {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,} {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}

Şimdi n = k + 1 halini ele alalım:

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) k + 1 = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) k ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = [ cos ⁡ ( k x ) + i sin ⁡ ( k x ) ] ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) enduksiyon hipotezine gore = cos ⁡ ( k x ) cos ⁡ x − sin ⁡ ( k x ) sin ⁡ x + i [ cos ⁡ ( k x ) sin ⁡ x + sin ⁡ ( k x ) cos ⁡ x ] = cos ⁡ [ ( k + 1 ) x ] + i sin ⁡ [ ( k + 1 ) x ]  trigonometrik ozdesliklere gore {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\mbox{enduksiyon hipotezine gore}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\mbox{ trigonometrik ozdesliklere gore}}\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\mbox{enduksiyon hipotezine gore}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\mbox{ trigonometrik ozdesliklere gore}}\end{alignedat}}}

Bundan, eğer sonucun, n = k için geçerli olması halinde, n = k + 1 için de geçerli olduğu anlamına varılır. Öyle ise, matematik endüksiyon prensipine göre, tüm pozitif tam sayılar için (yani n≥1 için) bu sonuç geçerli olur.

Eğer n = 0 ise, cos ⁡ ( 0 x ) + i sin ⁡ ( 0 x ) = 1 + i 0 = 1 {\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1} {\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1} olduğu için ve konvansiyonel olarak z 0 = 1 {\displaystyle z^{0}=1} {\displaystyle z^{0}=1} olarak verildiği için, bu formül geçerlidir.

Eğer n < 0 ise, n = -m olduğu zaman bir pozitif tam sayı m ele alsın. O halde

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) − m = 1 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) m = 1 ( cos ⁡ m x + i sin ⁡ m x ) = cos ⁡ ( m x ) − i sin ⁡ ( m x ) = cos ⁡ ( − m x ) + i sin ⁡ ( − m x ) = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{aligned}}}

Böylelikle, teorem nin tüm tam sayı değerleri için geçerlidir.

Kosinus ve sinus için tek tek formüller

[değiştir | kaynağı değiştir]

Karmaşık sayıların eşitliğini gösterdiği için bu denklemin hem gerçel kısımları hem de sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşit olmalıdır. Eğer x (ve bundan dolayı cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} {\displaystyle \cos x} ve sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} {\displaystyle \sin x}) gerçel sayılar ise, o zaman bu kısımların özdeşlikleri (taraf değiştirilerek) şöyle yazılabilir:

sin ⁡ ( n x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( cos ⁡ x ) k ( sin ⁡ x ) n − k sin ⁡ ( n − k ) π 2 cos ⁡ ( n x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( cos ⁡ x ) k ( sin ⁡ x ) n − k cos ⁡ ( n − k ) π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}\end{aligned}}}

Bu denklemler xin karmaşık değerleri için geçerlidir. Buna neden, her iki tarafın da x in holomorf fonksiyonları olması ve gerçel eksende birbiriyle çakışan bu şekildeki iki fonksiyonun karmaşık düzeyde de mutlaka birbiriyle çakışması gereğidir.

Bu denklemlerin örnek ifadeleri olarak n = 2 {\displaystyle n=2} {\displaystyle n=2} ve n = 3 {\displaystyle n=3} {\displaystyle n=3} için şu sonuçlar çıkarılır:

cos ⁡ 2 x = ( cos ⁡ x ) 2 + ( ( cos ⁡ x ) 2 − 1 ) = 2 ( cos ⁡ x ) 2 − 1 sin ⁡ 2 x = 2 ( sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) cos ⁡ 3 x = ( cos ⁡ x ) 3 + 3 cos ⁡ x ( ( cos ⁡ x ) 2 − 1 ) = 4 ( cos ⁡ x ) 3 − 3 cos ⁡ x sin ⁡ 3 x = 3 ( cos ⁡ x ) 2 ( sin ⁡ x ) − ( sin ⁡ x ) 3 = 3 sin ⁡ x − 4 ( sin ⁡ x ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&&=2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&&=4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&&=3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&&=2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&&=4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&&=3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}\\\end{aligned}}}

cos ⁡ ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} {\displaystyle \cos(nx)} için formülün sağ tarafı gerçekte cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} {\displaystyle \cos x} değerli Çebişev polinomu olan T n {\displaystyle T_{n}} {\displaystyle T_{n}} ifadesinin n(cosx) değeridir.

Genelleştirme

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu formül yukarıda verilen hallerden daha geniş hallerde de geçerlidir. Eğer z ve w karmaşık sayılarsa, o halde

( cos ⁡ z + i sin ⁡ z ) w {\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}} {\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}

bir çokludeğerli fonksiyon olur ve

cos ⁡ ( w z ) + i sin ⁡ ( w z ) {\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,} {\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}

ise bir çokludeğerli fonksiyon olmaz. Böylece

cos ⁡ ( w z ) + i sin ⁡ ( w z ) {\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,} {\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,} ifadesi sunun bir parcasidir ( cos ⁡ z + i sin ⁡ z ) w {\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,} {\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}.

Uygulamalar

[değiştir | kaynağı değiştir]
1 in küpköklerinin karmaşık düzlemde gösterimi

Bu formül bir karmaşık sayı için ninci kökleri bulmak için kullanılabilir. Eğer z {\displaystyle z} {\displaystyle z} bir karmaşık sayı ise bu polar koordinatlı olarak şu şekilde yazılabilir:

z = r ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) {\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)\,} {\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)\,}

O halde

z 1 n = [ r ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) ] 1 n = r 1 n [ cos ⁡ ( x + 2 k π n ) + i sin ⁡ ( x + 2 k π n ) ] {\displaystyle z^{{}^{\frac {1}{n}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{}^{\frac {1}{n}}}=r^{{}^{\frac {1}{n}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]} {\displaystyle z^{{}^{\frac {1}{n}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{}^{\frac {1}{n}}}=r^{{}^{\frac {1}{n}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}

olur. Burada k {\displaystyle k} {\displaystyle k} tam sayıdır. z {\displaystyle z} {\displaystyle z} için n {\displaystyle n} {\displaystyle n} tane değişik kök bulmak için k {\displaystyle k} {\displaystyle k} nin 0 {\displaystyle 0} {\displaystyle 0} den n − 1 {\displaystyle n-1} {\displaystyle n-1}e aralığını incelemek gerekir.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Birimin kökü
  • Abraham de Moivre

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Abramowitzm, M. ve Stegun, I.A. (1964) Handbook of Mathematical Functions, New York, Dover Publications, say. 74 (ISBN 0-486-61272-4) (İngilizce)
  • De Moivre's Theorem for Trig Identities8 Aralık 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. haz.: Michael Croucher, Wolfram Gösterim Projesi (İngilizce)
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=De_Moivre_formülü&oldid=35384337" sayfasından alınmıştır
Kategori:
  • Karmaşık analiz teoremleri
Gizli kategoriler:
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • ISBN sihirli bağlantısını kullanan sayfalar
  • Sayfa en son 15.46, 22 Mayıs 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
De Moivre formülü
Konu ekle