Eş iç teğet çemberler teoremi

Mavi çemberler eşitse, yeşil çemberler de eşittir.

Geometride, eş iç teğet çemberler teoremi bir Japon Sangaku'sundan türetilir ve aşağıdaki yapıya ilişkindir: belirli bir noktadan belirli bir çizgiye bir dizi ışın çizilir, öyle ki bitişik ışınlar ve taban çizgisi tarafından oluşturulan üçgenlerin iç teğet çemberleri eşittir. Çizimde eş mavi çemberler, açıklandığı gibi ışınlar arasındaki mesafeyi tanımlar.

Açıklama

Teorem, (herhangi bir ışından başlayarak) her diğer ışın, her üçüncü ışın vb. ve taban doğrusu tarafından oluşturulan üçgenlerin iç teğet çemberlerinin de eşit olduğunu belirtir. Her diğer ışın durumu yukarıda hepsi eşit olan yeşil çemberlerle gösterilmiştir.

Teoremin ilk ışının açısına bağlı olmadığı gerçeğinden yola çıkarak, teoremin geometriden ziyade doğru bir şekilde analize ait olduğu ve ışınların aralığını tanımlayan sürekli bir ölçekleme fonksiyonu ile ilgili olması gerektiği görülebilir. Aslında bu fonksiyon, hiperbolik sinüstür.

Teorem, aşağıdaki yardımcı teoremin (lemmanın) doğrudan bir sonucudur:

n inci ışının, taban çizgisinin normali ile bir $\gamma _{n}$ açısı yaptığını varsayalım. Eğer $\gamma _{n}$ denkleme göre parametrelendirilirse,$\tan \gamma _{n}=\sinh \theta _{n}$, sonra da $\theta _{n}=a+nb$ değerleri elde edilir, burada $a$ ve $b$, eş iç teğet çemberlerin koşulunu sağlayan bir ışın dizisi tanımlayan gerçek sabitlerdir ve ayrıca koşulu sağlayan herhangi bir ışın dizisi $a$ ve $b$ sabitlerinin uygun şekilde seçimi ile üretilebilir.

Yarımcı teoremin kanıtı

Şekilde, $PS$ ve $PT$ doğruları, $RST$ taban çizgisine dik olan $PR$ doğrusu ile $\gamma _{n}$ ve $\gamma _{n+1}$ açılarını oluşturan bitişik ışınlardır.

$QXOY$ doğrusu, taban çizgisine paraleldir ve $\triangle PST$ üçgeninin, ışınlara $W$ ve $Z$ noktalarında teğet olan, iç teğet çemberinin merkezi olan $O$'dan geçer. Ayrıca, $PQ$ çizgisinin uzunluğu $h-r$ ve $QR$ doğrusunun uzunluğu da iç teğet çemberin yarıçapı $r$'dir.

Sonra $\triangle OWX\sim \triangle PQX$ ve $\triangle OZY\sim \triangle PQY$ benzerliklerinden ve $XY=XO+OY$'den aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$(h-r)(\tan \gamma _{n+1}-\tan \gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\sec \gamma _{n+1}).$

Bu ilişki bir dizi açı üzerinde,$\{\gamma _{m}\}$, eş iç teğet çemberlerin durumunu ifade eder.

Yardımcı teoremi kanıtlamak için $\tan \gamma _{n}=\sinh(a+nb)$ ifadesinden $\sec \gamma _{n}=\cosh(a+nb)$ elde edilir.

$a+(n+1)b=(a+nb)+b$ kullanılarak $\sinh$ ve $\cosh$ için toplam formüllerini uygulanırsa, eş iç teğet çemberlerin aşağıdaki ilişkiyi sağladığı doğrulanır:

${\frac {r}{h-r}}=\tanh {\frac {b}{2}}.$

Bu, $b$ parametresi için geometrik ölçüler, $h$ ve $r$ türünden bir ifade verir. $b$'nin bu tanımıyla daha sonra üçgenlerin kenarları olarak her n inci ışını alınarak oluşturulan iç teğet çemberlerin yarıçapları $r_{N}$ için bir ifade elde ederiz;

${\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\tanh {\frac {Nb}{2}}.$

Ayrıca bakınız

• Hiperbolik fonksiyon
• Çember içindeki çokgenler için Japon teoremi
• Kirişler dörtgeni için Japon teoremi
• Çemberlere teğet doğrular

Kaynakça

• Cut-the-knot'da Eş iç teğet çember teoremi 24 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• J. Tabov. Beş daire teoremi üzerine bir not. Matematik Dergisi, 63 (1989), 2, ss. 92–94.

Dış bağlantılar

• Equal Incircles along a Line @ Wolfram Demonstrations Project 28 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Equal Incircles Theorem @ gogeometry 28 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Konuyla ilgili yayınlar

• Drei, Angela. (2011). Equal Incircles Theorem, Angela Drei's Proof.
• Jean-Louis AYME, (2011), Equal Incircles Theorem, First Synthetic Proof or More on Incircles - A New Adventure, Makale 25 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.