Elek teorisi

Elek teorisi, sayı teorisinde, elenmiş tam sayı kümelerini saymak veya daha gerçekçi bir ifadeyle bunların boyutunu tahmin etmek için tasarlanmış bir dizi genel tekniktir. Elenmiş bir kümenin prototipik örneği, belirli bir X limitine kadar olan asal sayılar kümesidir. Buna uygun olarak, bir eleğin prototipik örneği Eratosthenes eleği veya daha genel Legendre eleğidir. Bu yöntemler kullanılarak asal sayılara yapılan doğrudan saldırı, hata terimlerinin birikmesi gibi aşılamaz görünen engellerle karşılaşır.[kaynak belirtilmeli] Yirminci yüzyılda sayılar teorisinin en önemli kollarından birinde, eleme işleminin ne olması gerektiğine dair naif bir fikirle önden yapılan bir saldırının bazı zorluklarından kaçınmanın yolları bulunmuştur.

Başarılı bir yaklaşım, belirli bir elenmiş sayı kümesini (örneğin asal sayılar kümesi), tipik olarak orijinal kümeden biraz daha büyük ve analiz edilmesi daha kolay olan başka, daha basit bir küme (örneğin neredeyse asal sayılar kümesi) ile yaklaştırmaktır. Daha sofistike elekler de doğrudan kümelerle çalışmaz, bunun yerine bu kümeler üzerinde dikkatle seçilmiş ağırlık fonksiyonlarına (bu kümelerin bazı elemanlarına diğerlerinden daha fazla "ağırlık" verme seçenekleri) göre onları sayar. Ayrıca, bazı modern uygulamalarda, elekler elenmiş bir kümenin boyutunu tahmin etmek için değil, kümenin karakteristik fonksiyonundan daha kolay analiz edilebilirken, küme üzerinde büyük ve çoğunlukla dışında küçük olan bir fonksiyon üretmek için kullanılır.

Modern elekler arasında Brun eleği, Selberg eleği, Turán eleği, büyük elek, daha büyük elek ve Goldston-Pintz-Yıldırım eleği bulunmaktadır. Elek teorisinin orijinal amaçlarından biri, sayılar teorisindeki ikiz asal varsayımı gibi varsayımları kanıtlamaya çalışmaktı. Elek teorisinin orijinal geniş amaçlarına hala büyük ölçüde ulaşılamamış olsa da, özellikle diğer sayı teorisi araçlarıyla birlikte bazı kısmi başarılar elde edilmiştir.