İndüktans

İndüktans elektromanyetizma ve elektronikte bir indüktörün manyetik alan içerisinde enerji depolama kapasitesidir. İndüktörler, bir devrede akımın değişimiyle orantılı olarak karşı voltaj üretirler. Bu özelliğe, onu karşılıklı indüktanstan ayırmak için, aynı zamanda öz indüksiyon da denir. Karşılıklı indüktans, bir devredeki indüklenen voltajın başka bir devredeki akımın zamana göre değişiminin etkisiyle oluşur.

Bir devredeki öz indüksiyon L, niceliksel olarak SI birimleri kullanılarak (Weber bölü Amper, yani Henry) şu şekilde ifade edilir:

$\displaystyle v=L{\frac {di}{dt}}$

burada v voltajı Volt birimiyle ve i akımı Amper birimiyle ifade edilmiştir. Bu denklemin en basit çözümü için ya sabit bir akım düşünülmelidir ya da zamana bağlı olarak doğrusal değişen bir akım düşünülmelidir. Birincisinde voltaj sıfırdır, ikincisinde ise sabit bir voltaj değeri vardır.

'İndüktans' terimi Oliver Heaviside tarafından 1886 Şubatında keşfedildi. Fizikçi Heinrich Lenz'in onuruna İndüktans için fizik dünyasında yaygın olarak "L" kısaltması kullanılmaktadır. İndüktansın SI birimlerine göre birimi henry (H) olarak ifade edilir. Bu isim Amerikan bilim insanı ve manyetik araştırmacısı Joseph Henry'den alınmıştır. 1 H = 1 Wb/A.

İndüktans, Amper yasasına göre elektrik akımı tarafından yaratılan manyetik alanın bir sonucudur. Bir devreye indüktans eklemek için, indüktör dediğimiz elektronik bileşenleri kullanılır. Bunlar genellikle manyetik alanı şiddetlendirmek ve indüklenen voltajı toplamak için tel bobinlerden oluşur. Bu, bir devreye kapasitans eklemek için kondansatör kullanılmasına benzer. Kapasitans, Gauss yasasına göre elektrik yükü tarafından oluşturulan elektrik alanın bir sonucudur.

Durumu genelleştirecek olursak, K sayıda elektrik devresi düşünelim ve bunların elektrik akımları i_m, voltajları ise v_m olsun, buna göre:

$\displaystyle v_{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {di_{n}}{dt}}.$

Burada indüktans simetrik bir matristir. Köşegende bulunan katsayılar L_m,m öz indüksiyon katsayılarıdır, diğer katsayılarsa karşılıklı indüktans katsayılarıdır. Doğrusal olmayan özelliklere sahip hiçbir mıknatıslanabilir madde olmadığında bu indüktans katsayıları sabittir. Bu, doğrudan Maxwell denklemlerinin alanlarda ve akım yoğunluklarındaki doğrusallığının (lineer) doğrudan bir sonucudur. Doğrusal olmayan durumlarda ise indüksiyon katsayıları akımın bir fonksiyonu şeklinde ifade edilir, bakınız doğrusal olmayan indüktans

Faraday'ın indüktans yasasının türetilmesi

Ana madde: Faraday'in indüksiyon kanunu

Yukarıdaki indüktans denklemleri Maxwell denklemlerinin bir sonucudur. İnce telleri olan bir elektrik devresi düşünülürse eğer oldukça açık bir türetiliş vardır.

Her biri birkaç kez dolanmış tellerin olduğu, K tel sarımları sistemi düşünün. m düğümü (sarımlar) Akı denklemi şöyledir:

$\displaystyle N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}i_{n}.$

Burada, N_m m düğümündeki sarım sayısı, Φ_m bu düşümdeki manyetik akı ve L_m,n bazı sabitlerdir. Bu denklem Ampère yasasıdır - manyetik alanlar ve akılar, akımların doğrusal fonksiyonlarıdır. Faraday'in indüksiyon kanunu kullanılarak, şunu elde ederiz:

$\displaystyle v_{m}=N_{m}{\frac {d\Phi _{m}}{dt}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {di_{n}}{dt}},$

burada, v_m m devresinde indüklenen voltajı ifade etmektedir. Eğer L_m,n sabitleri indüksiyon sabitleri kullanılarak belirlenirse, bu, indüktansın yukarıdaki tanımıyla uyumlu olacaktır. N_ni_n yani toplam akımlar Φ_m için katkı sunduğundan L_m,n sarım sayılarının çarpımıyla N_mN_n orantılı olacaktır.

İndüktans ve manyetik alan enerjisi

Yukarıdaki denklemdeki v_m ile i_mdt çarparak m üzerinden toplarsak, bu bize dt zaman aralığında sisteme taşınan enerjiyi verecektir,

$\displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}dt=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}di_{n}{\overset {!}{=}}\sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}di_{n}.$

Bu, akımlar tarafından oluşturulan manyetik alan enerjisinin (W) değişimiyle eşit olmalıdır. İntegre edilebilirlik koşulu

$\displaystyle \partial ^{2}W/\partial i_{m}\partial i_{n}=\partial ^{2}W/\partial i_{n}\partial i_{m}$

L_m,n=L_n,m eşitliğini gerektirir. Dolayısıyla indüktans matrisi L_m,n simetriktir. Enerji transferinin integrali, manyetik alan enerjisinin akıma göre bir fonsiyonudur,

$\displaystyle W\left(i\right)={\tfrac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.$

Bu denklem de Maxwell denklemlerinin doğrusallığının (lineer oluşunun) doğrudan bir sonucudur. Değişen elektrik akımlarını artan ya da azalan bir manyetik alan enerjisiyle ilişkilendirmek kolaylaştırıcı olacaktır. Bu bahsi edilen enerji transferi ya voltaja ihtiyaç duymaktadır ya da voltaj üretmektedir. Manyetik alan enerjisinin K=1 durumu için mekanikle ilgili bir benzetme yapacak olursak, (1/2)Li² M kütleli bir cisim, hız u ve kinetik enerji de (1/2)Mu² olacak şekilde düşünülebilir. Hızın değişimi (akım) ile kütlenin (indüktans) çarpımı bir kuvvet (elektrik voltajı) yaratmaktadır ya da bir kuvvete ihtiyaç duymaktadır.

Eşli indüktörler

Ayrıca bakınız: Eşli (elektronik)

Karşılıklı indüktans, bir indüktördeki akım değişiminin yanında bulunan başka bir indüktörün voltajını indüklemesiyle oluşur. Bu transformatörün çalışma mekanizması açısından oldukça önemlidir; fakat yine bu istenmeyen eşli salınımlara neden olur.

Karşılıklı indüktans, M, aynı zamanda iki indüktörler arasındaki eşli salınımın bir ölçüsüdür. i devresindeki ve j devresindeki karşılıklı indüktans çift katlı Neumann formülüyle hesaplanır, bakınız hesaplama teknikleri

Karşılıklı indüktans ayrıca şu ilişkiye sahiptir:

$M_{21}=N_{1}N_{2}P_{21}\!$

burada

$M_{21}$ karşılıklı indüktans ve alt indis bobin 2'de bobin 1'deki akım tarafından indüklenen voltajı ifade etmektedir.

N₁ bobin 1'deki sarım sayısı,

N₂ bobin 2'deki sarım sayısı,

P ₂₁ akı tarafından doldurulan uzayın manyetik iletkenlik değeri.

Karşılıklı indüktansın eşli salınım katsayısıyla da bir ilişkisi vardır. Eşli salınım katsayısı her zaman 1 ile 0 arasındadır ve bu katsayının kullanımı herhangi bir indüktansla indüktörün belirli bir yönelimi arasındaki ilişkiyi belirlemek açısından faydalıdır.

$M=k{\sqrt {L_{1}L_{2}}}\!$

burada

k eşli salınım katsayısıdır ve 0 ≤ k ≤ 1,

L₁ ilk bobinin indüktansıdır,

L₂ ikinci bobinin indüktansıdır.

İlk olarak karşılıklı indüktans M belirlenir, bundan sonra M devrenin davranışını tahmin etmek için kullanılır.

$V_{1}=L_{1}{\frac {dI_{1}}{dt}}-M{\frac {dI_{2}}{dt}}$

burada

V₁ ilgili indüktör üzerindeki gerilimdir,

L₁ ilgili indüktörün indüktansıdır,

dI₁/dt ilgili indüktör üzerindeki akımın zamana göre türevidir,

dI₂/dt birinci indüktörle eşli salınım halinde olan indüktör üzerindeki akımın zamana göre türevidir,

M karşılıklı indüktanstır.

Eksi işareti diyagramda tanımlanan I₂ akımıyla ilgilidir. Diyagramda, noktalara gelen her iki akım da noktalara doğru geldiği için M pozitiftir.

Bir indüktör kendisine oldukça yakın başka bir indüktörün karşılıklı indüktansıyla eşli salınım durumundaysa, tıpkı transformatörlerde olduğu gibi, voltaj, akım ve sarım sayıları arasındaki ilişki şu şekilde olur:

$V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}$

burada

V_s ikincil indüktör üzerindeki voltajdır,

V_p birincil indüktör (güç kaynağına bağlı olan) üzerindeki voltajdır,

N_s ikincil indüktördeki sarım sayısıdır,

N_p birincil indüktördeki sarım sayısıdır.

Tersine, akım için durum şöyledir:

$I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}$

burada

I_s ikincil indüktör üzerindeki akımdır,

I_p birincil indüktör üzerindeki akımdır,

N_s ikincil indüktördeki sarım sayısıdır,

N_p birincil indüktördeki sarım sayısıdır.

Burada bir indüktör üzerindeki güç ile diğer indüktör üzerindeki gücün aynı olduğunu unutmayın. Ayrıca burada, her iki transformatör de güç kaynağına bağlanırsa bu denklemlerin bir sonuç vermeyeceğine dikkat edin.

Transformatörün iki tarafı da ayarlı devre ise, iki sargılar arasındaki karşılıklı indüktans miktarı frekans tepki eğrisinin şeklini belirler. Sınırları tanımlanmış olmasına rağmen, bu genellikle gevşek (loose couplinng), kritik (critical couplinng) ve fazla (overcouplinng) eşli salınım ifadeleriyle adlandırılır. İki ayarlı devre karşılıklı indüktans için gevşek eşli salınım yapacak durumdaysa, bant genişliği dar olacaktır. Karşılıklı indüktans miktarı arttıkça, bant genişliği de büyümeye devam eder. Karşılıklı indüktans kritik bir noktanın ötesine kadar arttığında, yanıt eğrisindeki pik değeri de düşmeye başlar ve merkez frekans, kendi yan bantlarına göre daha çok azalır. Bu fazla eşli salınım olarak bilinir.

Hesaplama teknikleri

En genel durumda, indüktans Maxwell denklemlerinden hesaplanabilir. Birçok önemli durum sadeleştirmeler kullanarak çözülebilir. Yüksek frekanslı akımlar düşünüldüğünde yüzey etkisiyle, yüzey akım yoğunlukları ve manyetik alan, Laplace denkleminin çözülmesiyle elde edilebilir. İletkenlerimiz ince teller ise, öz indüktans tel yarıçapına ve akımın tel üzerindeki dağıtım bağlıdır. Burada, eğer oldukça küçük yarıçaplı teller kullanıyorsak, tel içindeki akım dağılımı neredeyse sabittir (eşit dağılım gösterir).

Karşılıklı indüktans

Bir i ince tel devresinin, başka bir j ince tel devresi üzerindeki karşılıklı indüktansı çift katlı Neumann formülü olarak bulunur:

$M_{ij}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{i}}\oint _{C_{j}}{\frac {d\mathbf {x} _{i}\cdot d\mathbf {x} _{j}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{j}|}}$

μ₀ manyetik sabittir (4π×10⁻⁷ H/m), C_i ve C_j teller tarafından oluşturulan eğrilerdir, R_ij iki nokta arasındaki uzaklıktır. Sembolü μ ₀ ifade eder manyetik sabit (4π×10⁻⁷H/m),C_i veC_j teller tarafından yayılmış eğrileri. Bakınız: bu denklemin türetilmesi.

Öz indüktans

Bir tel düğümünün öz indüksiyonu yukarıdaki denklemde i = j için bulunan çözümdür. Ancak, burada 1/R ifadesi sonsuza gideceği için burada tel yarıçap değerini, a ifadesini kullanıyoruz, burada telin içerisindeki alım dağılımı hesaba katılmaktadır. Şimdi elimizde |R| ≥ a/2 değeri için tüm noktalarda alınan integralin ve bir düzeltme teriminin katkısı kalır,

$M_{ii}=L\approx \left({\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} '}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\right)_{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|\geq a/2}+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}lY$

Burada, a telin yarıçapı, l telin uzunluğu, Y tel üzerinde akım dağılımına bağlı olan bir sabittir: eğer akım telin yüzeyinden akıyorsa Y = 0 (yüzey etkisi), eğer akım telde homojen bir şekilde dağılmışsa Y = 1/2. Tellerin uzunlukları kesit alanlarına göre oldukça büyükse bu yaklaşım doğrudur. Bakınız: bu denklemin türetilmesi.

Görüntü yöntemi

Bazı durumlarda farklı akım dağılımları uzayın bazı yerlerinde aynı manyetik alanı üretir. Bu gerçek öz indüktansı ilişkilendirmek için kullanılabilir. (görüntü yöntemi) Örnek olarak iki sistem düşünün:

• Mükemmel iletken bir duvarda d/2 uzaklıkta bir tel
• Aralıarında d kadar uzaklık bulunan ve zıt yönde akımlar taşıyan iki tel

İki sistemin de manyetik alanı bir birinin aynısıdır. Manyetik alan enerjisi ve ikinci sisteminin indüktansı böylece ilk sistemin iki katı olur.

İndüktans ve kapasitans arasındaki ilişki

İletim hatları adı verilen özel durumda, yani kesit alanları rastgele ama sabit olan iki paralel mükemmel iletken durumunda, indüktans bölü uzunluk L' ve sığa (kapasitans) bölü uzunluk C' birbirleriyle bağıntılıdır,

$\displaystyle L'C'={\varepsilon \mu }.$

Burada ε ve µ sırasıyla iletkenlerin yerleştirildiği ortamın dielektrik sabiti ve manyetik geçirgenliğidir. İletkenler içerisinde elektrik alan ve manyetik alan yoktur (kusursuz yüzey etkisi, yüksek frekans).Akım bir çizgiden akar ve bir diğerinden geri gelir. Sinyaller iletkenleri saran iletken olmayan ortamda elektromanyetik radyasyon hızında iletim hattı boyunca yayılır.

Basit elektrik devrelerin hava ortamındaki öz indüksiyonu

Birçok türedeki elektrik devrelerinin öz indüksiyonu formüle edilerek verilebilir. Örnekler tabloda listelenmiştir.

Basit elektrik devrelerinin hava ortamındaki indüktansları

Tür	İndüktans / $\mu _{0}$	Açıklama
Tek yüzeyli solenoid	${\frac {r^{2}N^{2}}{3l}}\left\{-8w+4{\frac {\sqrt {1+m}}{m}}\left(K\left({\sqrt {\frac {m}{1+m}}}\right)-\left(1-m\right)E\left({\sqrt {\frac {m}{1+m}}}\right)\right)\right\}$ $={\frac {r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left\{1-{\frac {8w}{3\pi }}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(2n\right)!^{2}}{n!^{4}\left(n+1\right)\left(2n-1\right)2^{2n}}}\left(-1\right)^{n+1}w^{2n}\right\}$ $={\frac {r^{2}N^{2}\pi }{l}}\left(1-{\frac {8w}{3\pi }}+{\frac {w^{2}}{2}}-{\frac {w^{4}}{4}}+{\frac {5w^{6}}{16}}-{\frac {35w^{8}}{64}}+\dots \right)$ for w ≪ 1 $=rN^{2}\left\{\left(1+{\frac {1}{32w^{2}}}+O\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right)\ln {8w}-1/2+{\frac {1}{128w^{2}}}+O\left({\frac {1}{w^{4}}}\right)\right\}$ for w ≫ 1	$N$: Sarım sayısı r: Yarıçap l: Uzunluk w = r/l $m=4w^{2}$ $E,K$: Eliptik integraller
Eşeksenli tel, yüksek frekans	${\frac {l}{2\pi }}\ln {\frac {a_{1}}{a}}$	a1: Dış yarıçap a: İç yarıçap l: Uzunluk
Dairesel düğüm	$r\cdot \left(\ln {\frac {8r}{a}}-2+{\frac {Y}{2}}\right)$	r: Düğüm çapı a: Tel yarıçapı
Dikdörtgen	${\frac {1}{\pi }}\left(b\ln {\frac {2b}{a}}+d\ln {\frac {2d}{a}}-\left(b+d\right)\left(2-{\frac {Y}{2}}\right)+2{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}-b\cdot \operatorname {arsinh} {\frac {b}{d}}-d\cdot \operatorname {arsinh} {\frac {d}{b}}\right)$	b, d: Sınır uzunluğu d ≫ a, b ≫ a a: Tel yarıçapı
Pair of parallel wires	${\frac {l}{\pi }}\left(\ln {\frac {d}{a}}+Y/2\right)$	a: Tel yarıçapı d: Uzaklık, d ≥ 2a ‘‘l’’: Eşlerin uzunluğu
Paralel tel çifti, yüksek frekans	${\frac {l}{\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)={\frac {l}{\pi }}\ln \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)$	a: Tel yarıçapı d: Uzaklık, d ≥ 2a ‘‘l’': Eşlerin uzunluğu
Mükemmel iletken bir duvara paralel tel	${\frac {l}{2\pi }}\left(\ln {\frac {2d}{a}}+Y/2\right)$	a: Tel yarıçapı d: Uzaklık, d ≥ a l: Uzunluk
Mükemmel iletken bir duvara paralel tel, yüksek frekans	${\frac {l}{2\pi }}\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)={\frac {l}{2\pi }}\ln \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)$	a: Tel yarıçapı d: Uzaklık, d ≥ a l: Uzunluk

μ₀ manyetik sabiti (4π×10⁻⁷H/m) ifade etmektedir. Yüksek frekanslarda elektrik akımı iletkenin yüzeyinden akmaktadır (yüzey etkisi). Geometriye bağlı olarak zaman zaman düşük ve yüksek frekans indüktanslarını ayırt etmek gerekir. Bu, Y sabitinin amacı olarak görülebilir: eğer akım telin yüzeyinden akıyorsa Y = 0 (yüzey etkisi), eğer akım telde homojen bir şekilde dağılmışsa Y = 1/2. Yüksek frekans durumunda, eğer iletkenler birbirlerine yaklaşıyorlarsa, ek olarak başka bir görüntü akımı yüzeyden akar ve Y sabitini içerek denklem geçersiz olur. Bazı devre tipleri için detaylar başka bir sayfada mevcuttur.

Fazör devre analizi ve empedans

Fazör kullanırsak, bir indüktansın eş değer impedansı şöyle bulunur:

$Z_{L}=V/I=jL\omega \,$

burada

j imajiner birim,

L indüktans,

ω = 2πf açısal frekans,

f frekans,

Lω = X_L indükleyen reaktans.

Doğrusal olmayan indüktans

Birçok indüktörün yapımında manyetik malzemeler kullanılmaktadır. Bu malzemeler yeterince büyük bir alan üzerinde doygunluk etkisi nedeniyle doğrusal olmayan manyetik geçirgenlik değerlerine sahiptir. Bu da indüktansın uygulanan akımın bir fonksiyonu olmasına neden olur. Faraday Yasası burada hala geçerlidir, ancak indüktans belirsizdir ve siz devre parametrelerini ve manyetik akıyı hesaplasanız da farklı sonuçlar verir.

Sekant veya büyük sinyal indüktansı akı hesaplamalarında kullanılır. Şöyle tanımlanmıştır:

$L_{s}(i)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {N\Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}$

Diğer taraftan diferansiyel veya küçük sinyal indüktansı, voltaj hesaplanmasında kullanılır. Şöyle tanımlanmıştır:

$L_{d}(i)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {d(N\Phi )}{di}}={\frac {d\Lambda }{di}}$

Diferansiyel indüktanstan elde edilen doğrusal olmayan indüktörün devre voltajı Faraday Yasası ve kalkülüsteki zincir kuralı ile gösterilir.

$v(t)={\frac {d\Lambda }{dt}}={\frac {d\Lambda }{di}}{\frac {di}{dt}}=L_{d}(i){\frac {di}{dt}}$

Doğrusal olmayan karşılıklı indüktans için benzer tanımlar vardır.

Ayrıca bakınız

• Alternatif akım
• Eddy akımı
• Elektromanyetik indüksiyon
• Elektrik
• Faraday'ın indüksiyon yasası
• RLC devresi
• Solenoid
• Transformatör

Genel kaynaklar

• Frederick W. Grover (1952). Inductance Calculations. Dover Publications, New York. 
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. 
• Wangsness, Roald K. (1986). Electromagnetic Fields (2.2 yayımcı=Wiley bas.). ISBN 0-471-81186-6. 
• Hughes, Edward. (2002). Electrical & Electronic Technology (8th ed.). Prentice Hall. ISBN 0-582-40519-X. 
• Küpfmüller K., Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.
• Heaviside O., Electrical Papers. Vol.1. – L.; N.Y.: Macmillan, 1892, p. 429-560.
• F. Langford-Smith, editor, 1953, Radiotron Designer's Handbook, 4th Edition, Wireless Press for Amalgamated Wireless Valve Company PTY, LTD, Sydney, Australia together with Eectron Tube Division of the Radio Corporation of America [RCA], Harrison, N. J. No Library of Congress Card Catalog Number or ISBN. Chapter 10 pp. 429–448 Calculation of Inductance includes a wealth of approximate formulas and nomographs for single-layer solenoids of various coil diameters and pitch of windings and lengths, the effects of screens, formulas and nomographs for multilayer coils (long and short), for toroidal coils, for flat spirals, and a nomograph for the mutual inductance between coaxial solenoids. With 56 references.

Dış bağlantılar

• Clemson Vehicular Electronics Laboratory: Inductance Calculator