Feuerbach noktası

Üçgen geometrisinde, üçgenin iç çemberi ve dokuz nokta çemberi, üçgenin Feuerbach noktasında birbirine içten teğettir. Feuerbach noktası bir üçgen merkezidir, yani tanımı üçgenin yerleşimine ve ölçeğine bağlı değildir. Clark Kimberling'in Üçgen Merkezleri Ansiklopedisi'nde X(11) olarak listelenmiştir ve adını Alman geometrici Karl Wilhelm Feuerbach'tan almıştır.^[1]^[2]

1822 yılında Feuerbach'a tarafından yayınlanan Feuerbach teoremi,^[3] daha genel olarak dokuz nokta çemberine teğet iç teğet çemberin yanı sıra üç dış çember olduğunu belirtmektedir.^[4] Beşinci çembere teğet olan dört çemberin bitanjantlarına ilişkin Casey teoremine dayanan bu teoremin çok kısa bir kanıtı John Casey tarafından 1866'da yayınlandı;^[5] Feuerbach teoremi, otomatik teorem ispatlama için bir test durumu olarak da kullanılmıştır.^[6] Çemberlerle üç teğet noktası, verilen üçgen Feuerbach üçgenini oluşturur.

Oluşturulması

Bir $\triangle ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi, üçgenin üç kenarına da teğet olan bir çemberdir. Üçgenin merkezi, iç teğet çemberinin merkezi, üçgenin üç iç açıortayının birbiriyle kesiştiği noktada yer alır.

Dokuz nokta çemberi, bir üçgende tanımlanan başka bir çemberdir. Buna, üçgenin dokuz önemli noktasından geçtiği için bu isim verilmiştir, bunlardan en basitleri üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır. Dokuz nokta çemberi bu üç orta noktadan geçer; bu nedenle, çevrel çembere ait ortalar üçgenidir.

Bu iki çember, birbirlerine teğet oldukları tek bir noktada buluşur. Bu teğet noktası, üçgenin Feuerbach noktasıdır.

Bir üçgenin iç teğet çember ile ilişkili, üç çemberi daha yani dış teğet çemberler vardır. Bunlar, üçgenin kenarlarından geçen ve dışarı doğru uzatılan iki doğruya ve üçgenin bir kenarına teğet olan çemberlerdir. Her bir dış teğet çember, üçgenin karşı kenarından bu doğrulardan birine dokunur ve diğer iki doğru için üçgen ile aynı kenardadır. İç teğet çember gibi, dış teğet çemberlerin tümü de dokuz nokta çemberine teğettir. Dokuz nokta çemberi ile teğet noktaları bir üçgen oluşturur ve buna Feuerbach üçgeni denir.

Özellikleri

Feuerbach noktası, onu tanımlayan iki teğet çemberin merkezlerinden geçen doğru üzerindedir. Bu merkezler, üçgenin iç teğet çemberin merkezi ve dokuz nokta çemberinin merkezidir.^[1]^[2]

$x$ , $y$ ve $z$ Feuerbach noktasının ortalar üçgeninin köşelerine olan üç mesafesi olsun (orijinal üçgenin sırasıyla $BC=a$ , $CA=b$ ve $AB=c$ kenarlarının orta noktaları). Ardından:^[7]^[8] $x+y+z=2\max(x,y,z),$

veya eşdeğer olarak, üç mesafenin en büyüğü diğer ikisinin toplamına eşittir. Özellikle,

{\begin{aligned}x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\\y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,\\z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,\end{aligned}}

sonucunu elde ederiz, burada $O$ referans üçgenin olduğu çevrel çember ve $I$ ise onun iç teğet çemberinin merkezidir.^[8]^{:Propos. 3}

İkinci özellik aynı zamanda dokuz nokta çemberine sahip olan çemberlerden herhangi birinin teğet noktası için de geçerlidir: bu teğetten orijinal üçgenin yan orta noktalarından birine olan en büyük mesafe, diğer iki kenar orta noktasına olan mesafelerin toplamına eşittir.^[8]

$\triangle ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $X$ , $Y$ ve $Z$ 'de sırasıyla $BC$ , $CA$ , $AB$ kenarlarına temas ederse ve bu kenarların orta noktaları sırasıyla $P$ , $Q$ ve $R$ ise, o zaman $F$ Feuerbach noktası ile $FPX$ , $FQY$ ve $FRZ$ sırasıyla $AOI$ , $BOI$ , $COI$ üçgenlerine benzerdir.^[8]^{:Propos. 4}

Koordinatlar

Feuerbach noktası için trilineer koordinatlar:^[2] $1-\cos(B-C):1-\cos(C-A):1-\cos(A-B).$

Barisantrik koordinatları^[8] ise,

(s-a)(b-c)^{2}:(s-b)(c-a)^{2}:(s-c)(a-b)^{2},

dir, burada s, üçgenin yarı çevresi, yani ${\frac {(a+b+c)}{2}}$ 'dir.

Orijinal üçgenin köşelerinden Feuerbach üçgeninin karşılık gelen köşelerine uzanan üç doğru, Üçgen Merkezleri Ansiklopedisi'nde X(12) olarak listelenen başka bir üçgen merkezinde buluşur. Trilineer koordinatları:^[2] $1+\cos(B-C):1+\cos(C-A):1+\cos(A-B).$

Kaynakça

^ ^a ^b Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, 67 (3), 1994, ss. 163-187
^ ^a ^b ^c ^d Encyclopedia of Triangle Centers 19 Nisan 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., accessed 2014-10-24.
^ Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung, Monograph, Nürnberg: Wiessner, 1822, 12 Kasım 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi2 Aralık 2020 .
^ A simple vector proof of Feuerbach's theorem (PDF), 11, 2011, ss. 205-210, 9 Ağustos 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)2 Aralık 2020 .
^ On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane, 9, 1866, ss. 396-423 . See in particular the bottom of p.411.
^ An introduction to Wu's method for mechanical theorem proving in geometry, 4 (3), 1988, ss. 237-267, doi:10.1007/BF00244942 .
^ Eric W. Weisstein, Feuerbach Point (MathWorld)
^ ^a ^b ^c ^d ^e Sándor Nagydobai Kiss, "A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension", Forum Geometricorum 16, 2016, ss. 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf 24 Ekim 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Konuyla ilgili yayınlar

Thébault, Victor (1949), "On the Feuerbach points", American Mathematical Monthly, cilt 56, ss. 546-547, doi:10.2307/2305531, MR 0033039 .
Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana (2001), "A note on the Feuerbach point", Forum Geometricorum, cilt 1, ss. 121-124 (electronic), MR 1891524 .
Suceavă, Bogdan; Yiu, Paul (2006), "The Feuerbach point and Euler lines", Forum Geometricorum, cilt 6, ss. 191-197, MR 2282236 .
Vonk, Jan (2009), "The Feuerbach point and reflections of the Euler line", Forum Geometricorum, cilt 9, ss. 47-55, MR 2534378 .
Nguyen, Minh Ha; Nguyen, Pham Dat (2012), "Synthetic proofs of two theorems related to the Feuerbach point", Forum Geometricorum, cilt 12, ss. 39-46, MR 2955643 .

Dış bağlantılar

Eric W. Weisstein, Feuerbach Noktası (MathWorld)
Feuerbach's Theorem: What Is It About? A Mathematical Droodle 23 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @cut-the-knot.org
The Feuerbach Point @geogebra
Feuerbach Point Distances: Illustration 5 Temmuz 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @gogeometry.com

[k94-1] Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, 67 (3), 1994, ss. 163-187

[etc2-2] Encyclopedia of Triangle Centers 19 Nisan 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., accessed 2014-10-24.

[3] Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung, Monograph, Nürnberg: Wiessner, 1822, 12 Kasım 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi2 Aralık 2020 .

[4] A simple vector proof of Feuerbach's theorem (PDF), 11, 2011, ss. 205-210, 9 Ağustos 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)2 Aralık 2020 .

[5] On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane, 9, 1866, ss. 396-423 . See in particular the bottom of p.411.

[6] An introduction to Wu's method for mechanical theorem proving in geometry, 4 (3), 1988, ss. 237-267, doi:10.1007/BF00244942 .

[7] Eric W. Weisstein, Feuerbach Point (MathWorld)

[Kiss-8] Sándor Nagydobai Kiss, "A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension", Forum Geometricorum 16, 2016, ss. 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf 24 Ekim 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]