Filtreleme (olasılık teorisi)

Filtre (topoloji) ile karıştırılmamalıdır.

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde ve rassal süreçlerde, filtreleme ya da süzgeç azalmayan bir σ-cebiri ailesidir. Amerikalı matematikçi Joseph Doob tarafından 1953'te literatüre sokulmuştur.

Tanım

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ bir olasılık uzayı ve $T\subset \mathbb {R}$ olsun. Eğer bir σ-cebiri ailesi $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ için ${\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}\subset {\mathcal {F}},\forall s\leq t,\;s,t\in T$ sağlanıyorsa, $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$'ye $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ olasılık uzayının bir filtrelemesi ya da süzgeci denir.

Bir rassal sürecin doğal filtrelemesi

Bir olasılık uzayı üzerinde tanımlanan $\{X_{t}\}_{t\in T}$ rassal süreci için aşağıdaki gibi bir σ-cebiri ailesi tanımlansın.

${\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t,\;s\in T\},\quad t\in T.$.

O zaman, $\left\{{\mathcal {F}}_{t}^{X}\right\}_{t\in T}$ bir filtreleme olur ve buna $\{X_{t}\}_{t\in T}$ rassal sürecinin doğal filtrelemesi denir.

Süreklilik

Bir olasılık uzayının filtrelemesinin soldan ve sürekli olması kavramı bazen değişik sonuçlarda teknik gereklilik olarak yazılır.

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ bir olasılık uzayı, $T=[0,\infty )$ ve $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}$ de bu olasılık uzayının filtrelemesi olsun.

• Her $t>0$ için, ${\mathcal {F}}_{t^{-}}:=\sigma \left(\bigcup _{s<t}{\mathcal {F}}_{s}\right)$
• ${\mathcal {F}}_{0^{-}}:={\mathcal {F}}_{0}$
• Her $t\geq 0$ için, ${\mathcal {F}}_{t^{+}}:=\sigma \left(\bigcap _{\varepsilon >0}{\mathcal {F}}_{s+\varepsilon }\right)$

tanımlayalım. O halde, her $t\geq 0$ için

• $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t}=\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t^{+}}$ ise $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}$ filtrelemesi sağdan sürekli
• $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t}=\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t^{-}}$ ise $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}$ filtrelemesi soldan sürekli

denir. Bir filtreleme hem sağdan hem de soldan sürekliyse, o zaman bu filtrelemeye sürekli filtreleme denir.

Tam filtrelemeler

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ bir olasılık uzayı ve $\mathbb {(} {\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ bu uzayın bir filtrelemesi olsun.

${\mathcal {N}}:=\{N\subset \Omega \mid \exists A\in {\mathcal {F}}:N\subset A\wedge P(A)=0\}$

tanımlayalım. Yani, ${\mathcal {N}}$, $P$-sıfır kümelerin altkümesi olan kümelerin kümesidir. Her $t\in T$ için, ${\mathcal {N}}\in {\mathcal {F}}_{t}$ sağlanırsa $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P)$ uzayı tam bir ölçü uzayı olur ve $\mathbb {(} {\mathcal {F}}_{t})_{t\in I}$ tam filtreleme denir.

Artırılmış filtrelemeler

Sağdan sürekli ve tam olan filtrelemelere artırılmış filtrelemeler denir. Eğer bir filtreleme artırılmış filtrelemeyse, filtreleme olağan koşulları sağlar kullanımı da vardır.

Ayrıca bakınız

• Markov süreci
• Martingal

Kaynakça

• Coculescu, Dalia; Nikeghbali, Ashkan (2010), "Filtrations", Encyclopedia of Quantitative Finance, cilt 2, ss. 683-6866 Eylül 2024 
• Doob, J. L. (1953), Stochastic processes, New York: John Wiley & Sons, Inc., MR 0058896 
• Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97655-6 
• Snell, J. L. (1997), "A conversation with Joe Doob", Statist. Sci., 12 (4), ss. 301-3114 Eylül 2024