Gårding eşitsizliği

Matematikte Gårding eşitsizliği gerçel bir eliptik kısmi diferansiyel operatör tarafından doğurulan çifte doğrusal biçime bir alt sınır veren bir sonuçtur. Eşitsizlik, Lars Gårding'in adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$\Omega$, $n$ boyutlu Öklid uzayında sınırlı ve açık bir bölge olsun. Zayıf türevleri $L^{2}(\Omega )$'da yer alan ve $k$-kere zayıf türevlenebilen $u\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ fonksiyonlarından oluşan Sobolev uzayı $H^{k}(\Omega )$ ile gösterilsin. $\Omega$, ayrıca, $k$-genişleme özelliğine sahip olan bir bölge olsun; diğer deyişle, bir sınırlı doğrusal $E\colon H^{k}(\Omega )\rightarrow H^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ operatörü aracılığıyla $Eu\vert _{\Omega }=u$ özelliği her $u\in H^{k}(\Omega )$ için sağlanabilsin.

$L$, bir doğrusal kısmi diferansiyel operatör olsun ve aşağıdaki gibi 2k mertebeli (yani, çift mertebeli), diverjans biçiminde yazılabilsin:

$(Lu)(x)=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\mathrm {D} ^{\alpha }\left(A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\beta }u(x)\right)$

Ayrıca, L düzgün eliptik olsun; diğer deyişle, bir θ > 0 sabiti için

$\sum _{|\alpha |,|\beta |=k}\xi ^{\alpha }A_{\alpha \beta }(x)\xi ^{\beta }>\theta |\xi |^{2k}\quad \forall x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$

sağlansın. Son olarak, |α| = |β| = k için, A_αβ katsayıları $\Omega$'nın kapanışında sınırlı ve sürekli fonksiyonlar olsun ve şu özellik sağlansın:

$A_{\alpha \beta }\in L^{\infty }(\Omega )\quad \forall |\alpha |,|\beta |\leq k.$

O zaman, Gårding eşitsizliği sağlanır; yani, L tarafından doğurulan çifte doğrusal biçim

$B[v,u]=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}\int _{\Omega }A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\alpha }u(x)\mathrm {D} ^{\beta }v(x)\,\mathrm {d} x$

olmak üzere

$B[u,u]+G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}\geq C\|u\|_{H^{k}(\Omega )}^{2}\quad \forall u\in H_{0}^{k}(\Omega )$

eşitsizliğini sağlayan pozitif bir $C$ sayısı ve negatif olmayan bir $G$ sayısı vardır.