Gauss-Legendre Algoritması - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Algoritma
  • 2 Matematiksel arka plan
    • 2.1 Aritmetik-geometrik ortalamanın sınırları
    • 2.2 Legendre’ın özdeşliği
  • 3 Kaynakça

Gauss-Legendre Algoritması

  • English
  • Español
  • Français
  • עברית
  • İtaliano
  • 日本語
  • Nederlands
  • Português
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Gauss-Legendre Algoritması π sayısının basamaklarını hesaplamak için kullanılan bir algoritmadır. Sadece 25 iterasyonda π sayısının 45 milyon basamağını doğru olarak hesaplıyor.

Bu yöntem Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ve Adrien-Marie Legendre (1752-1833) ikilisinin bireysel çalışmalarıyla modern çarpma ve karekök bulma algoritmalarının bir birleşimine dayanmaktadır.

Aşağıda gösterilen çeşidiyse Brent-Salamin(ya da Salamin-Brent) algoritması olarak da bilinir; 1975 yılında Richard Brent ve Eugene Salamin tarafından keşfedilmiştir. Bu algoritma 18-20 Eylül 1999'da π sayısının ilk 206,158,430,000 ondalık basamaklarını hesaplamakta kullanıldı ve sonuçlar Borwein Algoritması'yla kontrol edildi.

Algoritma

[değiştir | kaynağı değiştir]

1. Başlangıç değeri ayarlama:

a 0 = 1 b 0 = 1 2 t 0 = 1 4 p 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p_{0}=1\!} {\displaystyle a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p_{0}=1\!}

2. Aşağıdaki talimatları a n {\displaystyle a_{n}\!} {\displaystyle a_{n}\!} ve b n {\displaystyle b_{n}\!} {\displaystyle b_{n}\!}'nin farkı istenen doğruluk seviyesine gelene kadar uygulamaya devam edin.

a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n , t n + 1 = t n − p n ( a n − a n + 1 ) 2 , p n + 1 = 2 p n . {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\p_{n+1}&=2p_{n}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\p_{n+1}&=2p_{n}.\end{aligned}}}

3.π yaklaşık olarak şu çıkar:

π ≈ ( a n + b n ) 2 4 t n . {\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.\!} {\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.\!}

İlk 3 iterasyonun sonucu:

3.140 … {\displaystyle 3.140\dots \!} {\displaystyle 3.140\dots \!}
3.14159264 … {\displaystyle 3.14159264\dots \!} {\displaystyle 3.14159264\dots \!}
3.1415926535897932382 … {\displaystyle 3.1415926535897932382\dots \!} {\displaystyle 3.1415926535897932382\dots \!}

Matematiksel arka plan

[değiştir | kaynağı değiştir]

Aritmetik-geometrik ortalamanın sınırları

[değiştir | kaynağı değiştir]

İki sayının aritmetik-geometrik ortalaması, a0 ve b0, aşağıdaki dizilerin limitleri alınarak bulunur

a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n , {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\end{aligned}}}

Bu iki denklem de aynı limit değerine yakınsar. Eğer a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1\!} {\displaystyle a_{0}=1\!} ve b 0 = cos ⁡ φ {\displaystyle b_{0}=\cos \varphi \!} {\displaystyle b_{0}=\cos \varphi \!} ise limit π 2 K ( sin ⁡ φ ) {\displaystyle {\pi \over 2K(\sin \varphi )}\!} {\displaystyle {\pi \over 2K(\sin \varphi )}\!} değerine yakınsar; öyle ki K ( k ) {\displaystyle K(k)\!} {\displaystyle K(k)\!} birinci tür tam olmayan eliptik integraldir.

K ( k ) = ∫ 0 π / 2 d θ 1 − k 2 sin 2 ⁡ θ . {\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.\!} {\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.\!}

Eğer c 0 = sin ⁡ φ {\displaystyle c_{0}=\sin \varphi \!} {\displaystyle c_{0}=\sin \varphi \!}, c i + 1 = a i − a i + 1 {\displaystyle c_{i+1}=a_{i}-a_{i+1}\!} {\displaystyle c_{i+1}=a_{i}-a_{i+1}\!} ise

∑ i = 0 ∞ 2 i − 1 c i 2 = 1 − E ( sin ⁡ φ ) K ( sin ⁡ φ ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }2^{i-1}c_{i}^{2}=1-{E(\sin \varphi ) \over K(\sin \varphi )}\!} {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }2^{i-1}c_{i}^{2}=1-{E(\sin \varphi ) \over K(\sin \varphi )}\!}

öyle ki E ( k ) {\displaystyle E(k)\!} {\displaystyle E(k)\!} ikinci tür tam olmayan integraldir.

E ( k ) = ∫ 0 π / 2 1 − k 2 sin 2 ⁡ θ d θ . {\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .\!} {\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .\!}

Gauss tüm bu sonuçları biliyordu.[1] [2] [3]

Legendre’ın özdeşliği

[değiştir | kaynağı değiştir]

Öyle bir φ {\displaystyle \varphi \!} {\displaystyle \varphi \!} ve θ {\displaystyle \theta \!} {\displaystyle \theta \!} sayıları vardır ki φ + θ = 1 2 π {\displaystyle \varphi +\theta ={1 \over 2}\pi \!} {\displaystyle \varphi +\theta ={1 \over 2}\pi \!} eşitliğini sağlar. Legendre bu ödeşliği kanıtlamıştır:

K ( sin ⁡ φ ) E ( sin ⁡ θ ) + K ( sin ⁡ θ ) E ( sin ⁡ φ ) − K ( sin ⁡ φ ) K ( sin ⁡ θ ) = 1 2 π {\displaystyle K(\sin \varphi )E(\sin \theta )+K(\sin \theta )E(\sin \varphi )-K(\sin \varphi )K(\sin \theta )={1 \over 2}\pi \!} {\displaystyle K(\sin \varphi )E(\sin \theta )+K(\sin \theta )E(\sin \varphi )-K(\sin \varphi )K(\sin \theta )={1 \over 2}\pi \!}

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ Brent, Richard (1975), Traub, J F (Ed.), "Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation", Analytic Computational Complexity, New York: Academic Press, ss. 151-176, 23 Temmuz 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi8 Eylül 2007 
  2. ^ Salamin, Eugene. Computation of pi, Charles Stark Draper Laboratory ISS memo 74–19, 30 January, 1974, Cambridge, Massachusetts
  3. ^ Salamin, Eugene (1976), "Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean", Mathematics of Computation, 30 (135), ss. 565-570, ISSN 0025-5718 
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Gauss-Legendre_Algoritması&oldid=35634904" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Pi sayısı
  • Bilgisayar aritmetiği algoritmaları
  • Sayfa en son 21.22, 8 Temmuz 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Gauss-Legendre Algoritması
Konu ekle