Geliştirme

Klasik diferansiyel geometride, geliştirme öklid uzayı üzerinde başka bir düzgün yüzeyin yuvarlanmasının basit fikrini ifade eder. Örneğin, bir noktada, (örneğin, küre veya silindir gibi) yüzeyine teğet düzlemin diğer noktalarında tanjant yüzey elde etmek için yüzeyi etrafında haddelenebilir. Birbiri üzerine haddelenen yüzeyleri arasındaki temas teğet iki yüzey üzerindeki noktalar arasındaki bir ilişki sağlar. Bu ilişki (belki de sadece bir yerel anlamda) örten yüzeyler arasında tanımlanmış ise, o zaman iki yüzeylerin birbiri ya da birbirlerinin gelişmeleri geliştirilebilir olduğu söylenmektedir. Diğer bir deyişle, yerel bir izometri, iki yüzey arasında yazışmaları sağlar. Yüzeylerinden biri bir düzlem ise, özellikle, daha sonra diğer bir geliştirilebilir yüzey olarak adlandırılır: geliştirilebilir, böylece yüzey düzlemine yerel olarak izometrik olan bir bileşendir. Silindir geliştirilebilir, ama küre değil.

Gelişim düz bağlantı kullanarak daha genel olabilir. Bu açıdan bakıldığında, bir yüzey üzerine tanjant düzlemi yuvarlanma yüzeyi üzerinde bir afin bağlantı (bir eğri boyunca paralel taşınım bölgesinin bir örneğini sağlar) tanımlar ve bir yüzey geliştirilebilir, bu bağlantı düzgün belirlenebilen bir bağlantıdır.

Daha genel bir manifold üzerinde herhangi bir düz Cartan bağlantısı model uzay üzerindeki o manifoldunun bir geliştirmesini tanımlar. Belki de en ünlü örneği model-uzayı n-küre olan, konformal düz n-manifoldlar gelişmesidir. Bir konformal düzgün manifoldun gelişmesi n-küre için manifoldun evrensel kapalısından bir konformal yerel difeomorfizmdir

Çift eğimli yüzeylerin (geliştirilemeyen yüzeyler) sınıfı (geliştirilmiş) basitçe katlanmamış olamaz nesneleri içerir. Bu yüzeyler (bkz Gerilmiş ızgara metodu) doğrusal yüzeyin elemanlarının bazı çarpıtmalarıyla yalnızca yaklaşık olarak geliştirilebilir

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Sharpe, R.W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94732-9.