Harmonik seri ıraksak bir seridir, harmonik sözcüğü ise müzikten devşirilmiştir.
Bir dizinin Harmonik serisi .
∑
k
=
1
∞
1
k
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .\!}
serisini incelersek her kesrin seri toplamında bir payı veya katkısı olduğunu görebiliriz.
Sonsuza çok yavaş olarak ıraksayan bu serinin ilk 10^43 teriminin toplamı en az 100'dür ve Terim terim genişletilirse başka bir ıraksak seriye yakınsar.
∑
k
=
1
∞
1
k
=
1
+
[
1
2
]
+
[
1
3
+
1
4
]
+
[
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
]
+
[
1
9
+
⋯
]
+
⋯
>
1
+
[
1
2
]
+
[
1
4
+
1
4
]
+
[
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
]
+
[
1
16
+
⋯
]
+
⋯
=
1
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
⋯
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}}
Bu çok sayıda 1 ⁄ 2 k
s
2
k
{\displaystyle s_{2^{k}}}
s
2
k
≥
1
+
k
2
,
{\displaystyle s_{2^{k}}\geq 1+{k \over 2},}
(serisine yakınsıyor)
Yavaş ve neredeyse logaritmik bir artışa dönüşme var. Bu kanıtı Orta Çağ matematikçisi Nicole Oresme bulmuştur ve o dönemin en ileri seviyesidir. Yine de standart olarak günümüzde bu test kullanılmaktadır. Cauchy testi (kondensasyon) bu testin genelleştirilmiş halidir.
Harmonik seri için kullanılan diğer bir yöntem integral ıraksama testi , 1'le sonsuz aralığında 1 ⁄ x asal sayılar 'ın terslerinin toplamı bile exponansiyel bir yavaşlık olmasına rağmen, sonsuza ıraksar ve denemesi daha zordur.
Harmanik serinin toplamına destek için toplamı S ile gösterelim:
∑
k
=
1
∞
1
k
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
⋯
=
S
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =S}
kesirlerin yeniden düzenlenmesiyle
S
=
(
1
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
)
+
(
1
2
+
1
4
+
1
6
+
1
8
+
⋯
)
{\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots \right)}
Basitçe ikinci grubun sonucu
S
=
(
1
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
)
+
1
2
(
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
⋯
)
{\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}
ikinci grup yerini S 'e bırakır
S
=
(
1
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
)
+
1
2
S
{\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}S}
Bundan faydalanarak
1
2
S
=
(
1
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}
veya sonuç;
1
2
+
1
4
+
1
6
+
1
8
+
⋯
=
1
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots }
Bu doğru olamaz.Arka arkaya gelen bu toplamlar, ıraksamaya götürür.
geometrik seriler ile başlayalım
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
.
.
.
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...}
İki tarafında integrali alınırsa
−
ln
(
1
−
x
)
=
x
+
x
2
2
+
x
3
3
+
.
.
.
{\displaystyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+...}
iki tarafında
x
→
1
{\displaystyle x\rightarrow 1}
−
lim
x
→
1
ln
(
1
−
x
)
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
.
.
.
=
∑
n
=
1
∞
1
n
{\displaystyle -\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}
−
lim
x
→
1
ln
(
1
−
x
)
=
−
(
−
∞
)
=
∞
{\displaystyle -\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=-(-\infty )=\infty }
∑
n
=
1
∞
1
n
=
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }
Diğer bir deyişle toplam ıraksaktır.
Alterne harmonik seride ilk dört kısmi toplam (siyah doğru parçaları) ln2 ye yaklaşıyor (kırmızı hat ). Burada alterne harmonik seri 'nin yakınsaması
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
k
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
⋯
=
ln
2
=
0.693
147
180
…
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2=0.693\,147\,180\,\dots .}
Bu eşitlik Mercator serisi 'nin bir sonucudur., Taylor serisi 'nin doğal logaritmadaki
ikizidir, diğer eşitlik
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
2
k
+
1
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
=
arctan
(
1
)
=
π
4
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}.\!}
Taylor serisi gösteriminin ters tangent fonksiyon sonucu (yarıçap 1'e yakınsama vardır.).
Hn =
∑
k
=
1
∞
1
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}
serisinde n. nci kısmi toplamı n. nci harmonik sayıyı verir, bu sayı ile doğal logaritma arasında fark Euler-Mascheroni sabiti 'ne yakınsar.
Harmonik serinin genel formu
∑
n
=
0
∞
1
a
n
+
b
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}.\!}
burada a ve b sonlu herhangi bir gerçel sayıdır.
p-serisi 'nde p pozitif gerçel bir sayıdır
∑
n
=
1
∞
1
n
p
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},\!}
integral testi ile p > 1 için aşırı-harmonik seri , p = 1 için harmonik seri p > 1 seri toplamı ζ(p )'yi yani, Riemann zeta fonksiyonu 'nu verir.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363c98e0adc44d3ce15b51fdff0b28f7216a38f2)
