Hartogs teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Hartogs teoremi, birden fazla karmaşık değişkenle tanımlı holomorf fonksiyonların her bir karmaşık değişkene göre ayrı ayrı holomorf olmasının fonksiyonun sürekli olduğunu verdiğini ifade eden bir sonuçtur. Başka bir deyişle, eğer $F:{\textbf {C}}^{n}\to {\textbf {C}}$ her $1\leq i\leq n$ için $z_{i}$ değişkeninde (geriye kalan değişkenler sabit tutulurken) holomorf ise, $F$ sürekli bir fonksiyondur. Teorem, Friedrich Hartogs'un adını taşımaktadır.

Bu teoremin bir sonucu $F$ fonksiyonunun aslında $n$ -değişken bağlamında analitik bir fonksiyon olduğudur; yani, fonksiyon yerel olarak bir Taylor açılımına sahiptir. Bu nedenle, ayrı ayrı analitiklik ve sadece analitiklik, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinde örtüşen kavramlardır. Fonksiyonun sürekli (veya sınırlı) olduğu ek hipotezinden başlayarak, teoremin kanıtı çok daha kolaydır ve bu haliyle Osgood önsavı olarak bilinir.

Bu teoremin gerçel değişkenli fonksiyonlar için bir benzeri yoktur. Diğer deyişle, bir $f\colon {\textbf {R}}^{n}\to {\textbf {R}}$ fonksiyonunun her gerçel değişkene göre türevlenebilir (ve hatta analitik) olmasının fonksiyonun sürekli olduğunu vermeyeceği bilinmektedir. Örneğin, kartezyen düzlemde sıfır noktası hariç her noktada tanımlı

f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}

fonksiyonu verilsin ve bu fonksiyon için ayrıca $f(0,0)=0$ olarak tanımlansın. O zaman, bu fonksiyonun $x$ ve $y$ 'ye göre kısmi türevleri $(0,0)$ 'da iyi tanımlıdır; ancak, fonksiyonun kendisi $(0,0)$ 'da sürekli değildir. Gerçekten de, $x=y$ ve $x=-y$ doğruları üzerinden alınan limitler birbirine eşit değildir.