Hasse-Arf teoremi

Matematikte, özellikle de yerel sınıf cismi teorisinde, Hasse-Arf teoremi, sonlu bir Galois genişlemesinin Galois grubunun üstten numaralandırma filtrelemesindeki sıçramalarla ilgili bir sonuçtur. Rezidü cisimlerinin sonlu olduğu özel bir durumda Helmut Hasse tarafından ve genel çözümü de Cahit Arf tarafından kanıtlanmıştır.

Açıklama

Yüksek dallanma grupları

Ana madde: Dallanma Grupları

Teorem, sonlu bir Abel genişlemesi ${\displaystyle L/K}$nin üstten numaralandırılmış yüksek dallanma gruplarıyla ilgilidir. Diyelim ki

• ${\displaystyle L/K}$ sonlu bir Galois genişlemesi,
• ${\displaystyle v_{K}},$ K 'nin,
  • rezidü cismi karakteristiği $p>0$ olan ve
  • ayrık birimleştirilmiş bir değerlemesi

olsun. Bu değerlemenin, L'ye biricik bir şekilde genişlemesi olsun ve bu genişlemeye w diyelim.

• L'nin ilişkin birimleştirilmiş değerlemesi ew, ${\displaystyle v_{L}}$ ile
• L'nin ${\displaystyle v_{L}}$ altındaki değerleme halkası, ${\mathcal {O}}$ ile

gösterilsin. ${\displaystyle L/K}$'nin Galois grubu G olsun ve ${\displaystyle L/K}$'nin herhangi bir s≥−1 için s-inci dallanma grubunu şu şekilde tanımlayalım:

${\textstyle {\displaystyle G_{s}(L/K)=\{\sigma \in G\,:\,v_{L}(\sigma a-a)\geq s+1\ {\text{ her }}a\in {\mathcal {O}}{\text{ için}}\}.}}$

Örneğin, $G_{-1},$ Galois grubu $G$'dir. Daha yukarı numaralandırmaya geçmek için, öncelikle ψ_L/K fonksiyonu tanımlanmalıdır ki bu fonksiyon da aşağıda tanımlanmış η_L/K fonksiyonunun tersidir:.

${\displaystyle \eta _{L/K}(s)=\int _{0}^{s}{\frac {dx}{|G_{0}:G_{x}|}}.}$

Üst numaralandırmalı dallanma grupları, s = ψ_L/K(t) olacak şekilde G^t(L/K) = G_s(L/K) ile tanımlanır.

Bu yüksek dallanma grupları G^t(L/K), herhangi gerçel t ≥−1 için tanımlıdır, ancak ${\displaystyle v_{L}},$ ayrık bir değerleme olduğundan, bu gruplar sürekli olarak değil, ayrık sıçramalarla değişir. Bu nedenle, herhangi bir u > t için G^t(L/K) ≠ G^u(L/K) ise, t'nin, {G^t(L/K) : t ≥ −1} filtrelemesinde bir sıçrama olduğunu söyleriz. Hasse–Arf Teoremi, bu sıçramaların aritmetik doğası hakkında bilgi verir.

Teoremin ifadesi

Yukarıdaki tanımlar ışığında, teorem, {G^t(L/K) : t ≥ −1} filtrelemesindeki sıçramaların hepsinin rasyonel tam sayı olduğunu ifade eder.

Abel olmayan genişlemeler

Abel olmayan genişlemeler için sıçramalar tam sayılarda olmak zorunda değildir. Serre, Galois groubunun mertebesi 8 olan $Q_{8}$ of order 8 kuaterniyon grubu olan tamamen dallanmış bir genişlemenin örneğini aşağıdaki gibi vermiştir:

• $G_{0}=Q_{8}$
• $G_{1}=Q_{8}$
• $G_{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
• $G_{3}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$
• $G_{4}=1$

Üst numaralandırma o zaman

• $n\leq 1$ için $G^{n}=Q_{8}$  
• $1<n\leq 3/2$ için $G^{n}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$  
• $3/2<n$ için $G^{n}=1$  

biçiminde olur. Bu yüzden, $n=3/2$ iken, yani, tam sayı olmayan bir değerde sıçrama olduğu görülür.