Hefer teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde, Hefer teoremi, bir holomorfluk bölgesinde tanımlı holomorf fonksiyonların iki noktadaki değer farkının bu holomorfluk bölgesinin kartezyen çarpımında tanımlı olan başka holomorf fonksiyonlar ile bu iki noktanın koordinatları çarpımlarının toplamı olarak yazılabileceğini ifade eden bir sonuçtur.

Teorem, Hans Hefer'in adını taşımaktadır. Sonucun yayınlandığı makale Hans Hefer adıyla Karl Stein ve Heinrich Behnke tarafından yayınlanmıştır. Aynı makalede geçen bir dipnotta Hans Hefer'in doğu cephesinde öldüğü, bu çalışmanın ise Hefer'in 1940'daki tezinden toparlandığı yazılmıştır.

Teoremin ifadesi

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$'de holomorfluk bölgesi olsun ve $f:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ holomorf olsun. O zaman, $\Omega \times \Omega$ üzerinde tanımlı holomorf $g_{1},\cdots ,g_{n}$ fonksiyonları vardır öyle ki

$f(z)-f(w)=\sum _{j=1}^{n}(z_{j}-w_{j})g_{j}(w,z)$

herhangi $z,w\in \Omega$ için her zaman sağlanır.

Teoremdeki diğer fonksiyonlardan üzerinden yapılan ayrışım sözde dışbükey olmayan birçok bölgede de mümkündür.

Hefer önsavı

Teoremin kanıtı Hefer önsavı olarak da bilinen bir sonuçtan geçer.

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$'de holomorfluk bölgesi olsun. $f:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ holomorf fonksiyonu ise $\Omega$'nın $(N-k)$ boyutlu kompleks koordinat uzayıyla kesişiminde tamamen sıfır olsun; yani,

$f(0,\cdots ,0,z_{k+1},z_{k},\cdots ,z_{n})\equiv 0$.

O zaman, $\Omega$ üzerinde tanımlı holomorf $g_{1},\cdots ,g_{n}$ fonksiyonları vardır öyle ki

$f(z)=\sum _{j=1}^{n}z_{j}g_{j}(z)$

herhangi $z\in \Omega$ için her zaman sağlanır.