Hilbert eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Hilbert eşitsizliği pozitif gerçel sayıların ikili toplamlarına üst kestirim verir. Eşitsizlik David Hilbert'in adını taşımaktadır ve geçmişi Hilbert'in 1888 tarihli bir çalışmasına kadar uzanır. Eşitsizliğin iyileştirilmiş ve genelleştirilmiş birkaç hâli bulunmaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Hilbert eşitsizliği şu şekilde ifade edilebilir:
$N>0$ bir doğal sayı olsun ve $(a_{0},\ldots ,a_{N})$ pozitif sayılarından oluşan $(N+1)$-çokuzlusu verilsin. O zaman,

$\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq \pi \sum _{i=0}^{N}{{a_{i}}^{2}}$

eşitsizliği vardır.

Karmaşık sayılı hali

(u_m) dizisi karmaşık sayılardan oluşsun ve eğer bu dizi sonlu sayıda değilse

$\sum _{m}|u_{m}|^{2}<\infty$

olduğu varsayılsın. O zaman,

$\left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{r-s}}\right|\leq \pi \displaystyle \sum _{r}|u_{r}|^{2}$

olur.

İyileştirmeleri

Hilbert eşitsizliğindeki $\pi$ sabiti yerine daha iyi bir kestirim verilebilir:

$\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq (N+1)\sin \left({\frac {\pi }{N+1}}\right)\sum _{i=0}^{N}{{a_{i}}^{2}}.$

Bu eşitsizlik ise David Widder tarafından şu şekilde daha güçlü hâle getirilmiştir:

$\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq \pi \sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{{\frac {(i+j)!}{i!j!}}{\frac {a_{i}a_{j}}{2^{i+j+1}}}}}.$

İlişkin eşitsizlikler

Fu Cheng Hsiang eşitsizliği şu şekilde genelleştirilmiştir: $N>0$ bir doğal sayı olsun. $(a_{0},\ldots ,a_{N})$ ve $(b_{0},\ldots ,b_{N})$ negatif olmayan gerçel sayılardan oluşan $(N+1)$-çokuzluları olsun. O zaman,

$\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}b_{j}}{2i+2j+1}}}\leq (N+1)\sin {\frac {\pi }{2(N+1)}}\left(\sum _{i=0}^{N}{{a_{i}}^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\sum _{j=0}^{N}{{b_{j}}^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}$

eşitsizliği vardır.

Eşitsizliğin uzantıları

Yukarıdaki eşitsizliklerin genişletilmesiyle, çift seriler ve integraller aracılığıyla yazılan eşitsizlikler de vardır. Bu eşitsizlikler sırasıyla Hardy-Hilbert eşitsizliği ve Hardy-Hilbert integral eşitsizliği olarak bilinirler ve ${\tfrac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}$ sabiti her iki eşitsizlik için de en iyi kestirim sabitidir.

Hardy-Hilbert eşitsizliği

$\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ ve $\left(b_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} }$ negatif olmayan gerçel sayılardan oluşan ve hepsi birden sıfıra eşit olmayan sayı dizileri olsun. $p,q>0$ ise Hölder eşlenik sayılar olsunlar: ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$. O zaman,

$\sum _{i=1}^{\infty }{\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{i}b_{j}}{i+j}}}<{\frac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\left(\sum _{i=1}^{\infty }{{a_{i}}^{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }{{b_{j}}^{q}}\right)^{\frac {1}{q}}$

olur.

Hardy-Hilbert integral eşitsizliği

Hardy-Hilbert eşitsizliğinin integralli hali de şöyle yazılabilir:
$f,g\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$ fonksiyonları sıfıra özdeş olmasın ve $p,q>0$ ise Hölder eşlenik sayılar olsun. O zaman,

$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)g(y)}{x+y}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y<{\frac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\left(\int _{0}^{\infty }{f^{p}(x)}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{0}^{\infty }{g^{q}(x)}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{q}}$

olur.