Hipsometrik denklem

İki izobarik yüzey arasındaki kalınlık, h tabakasının ortalama sanal sıcaklığına ilişkin bir denklemi verir.

Burada $Z1$ ve $Z2$ sırasıyla $P1$ ve $P2$ basınç seviyelerinde geometrik yükseklikleridir. $Rd$, kuru hava için gaz sabitidir; sembolü katmanın ortalama sanal sıcaklığıdır; $g$ ise yer çekimidir.

Hipsometrik denklem, hidrostatik denklemden ve ideal gaz yasasından türetilmiştir.

Türev

Hidrostatik denklem:

$p=\rho \cdot g\cdot z,$

Nerede bir yoğunluk [kg/3] için denklem oluşturmak için kullanılan hidrostatik denge yazılmış, diferansiyel formu:

$dp=-\rho \cdot g\cdot dz.$

Bu ideal gaz yasası ile birleştirilir:

$p=\rho \cdot R\cdot T_{v}$

ortadan kaldırmak $\rho$:

${\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.$

$z_{1}$, $z_{2}$ için:

$\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.$

$R$ ve $g$ $z$ ile sabittir. Böylece integralin dışına getirilebilirler. Sıcaklık ile doğrusal değişiyorsa $z$ (örneğin, küçük bir değişiklik verilen $z$ ile ikame olduğunda), ${\overline {T_{v}}}$ bu da ayrılmaz dışında getirilebilir, arasındaki ortalama sanal sıcaklık $z_{1}$ ve $z_{2}$.

$\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z.$

Entegrasyon verir:

$\ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}),$

Basitleştirmek:

$\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}).$

Yeniden düzenleme:

$z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),$

Veya doğal günlüğünü ortadan kaldırarak:

${\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}.$

Kaynakça

2.https://www.britannica.com/science/geodesy-science