Histogram

Histogram, gruplandırılmış bir veri dağılımının sütun grafiğiyle gösterimidir. Diğer bir ifadeyle, tekrarlı sayılardan oluşan verilerin, uygulanan işlemlerden sonra önce tabloya, tablodan yararlanarak grafiğe aktarılması, yani veri gruplarının grafiğinin dikdörtgen sütunlar halinde gösterilmesidir.

Açıklama

İlk olarak Karl Pearson tarafından geliştirilmiştir. Sütunlar belirlenen aralıkların sınıfını belirler. Sütunların yükseklikleri her aralığa kaç değer düştüğünü belirtir. Bölmeler eşit boyutta ve bitişik olmalıdır. Sütunların çok ve dar olması histogramın güvenilirliğini artırır. Eğer sütunların sayısı az ve geniş ise elde edilecek bilgiler ile yanlış varsayımlar yapılması daha olağandır.

Görüntü üzerinde oluşturulan histogramlar ise her piksel seviyesinin görüntüdeki miktarını yani frekansını gösterir. Görüntü koyu tonlarda ise veya açık tonlarda ise bu görüntülerin bilgisi histogram okunarak elde edilebilir.

Histogram Eşitleme

Görüntüler için çıkarılan histogramlarda görüntüyü iyileştirmek için histogram eşitleme kullanılır. Histogramda bulunan frekans ile yapılan doğrusal olmayan bir eşitleme işlemidir. Görüntü yüksek değerli bir frekansa sahipse piksel seviyesi geniş bir piksel alanına yayılır. Görüntü düşük bir frekansa sahipse dar bir piksel alanına yayılarak histogram oluşturulur. Görüntünün histogramı bulunarak; kümülatif histogram bulunur. Değerler normalize edilip eski değerler ile birlikte elde edilen değerler birbirine karşılık düşürülür. Yeni histogram grafiği elde edilir.

$s_{k}=\sum _{j=1}^{k}{\tfrac {n_{j}}{n}}*(L-1)k=0,1,2,...,L-1$

Matematiksel Tanım

Matematiksel anlamda, histogram, ayrık kategorilerin her birine düşen verilerin sayısını veren bir fonksiyondur. Histogram grafiği, histogramı temsil etmenin sadece bir yoludur. Bu fonksiyonun tanımı aşağıdaki gibidir:

$n=\sum _{i=1}^{k}m_{i}$

Kümülatif Histogram

Kümülatif histogram, belirtilen aralığa kadar tüm aralıklardaki kümülatif gözlem sayısını veren bir eşitliktir. Matematiksel olarak aşağıdaki gibi tanımlanır:

$M_{i}=\sum _{j=1}^{i}m_{j}$

Sturges Formülü

Sturges formülü, iki terimli bir dağılımdan türetilmiştir ve yaklaşık olarak normal bir dağılım sağlar. Bölme boyutlarını veri aralığına dağıtır.

$k=\lceil \log _{2}n\rceil +1$

Bu formülde, n <30 ise kötü performans gösterebilir. Bu sebeple bölmelerin sayısı azdır. Ayrıca verilerdeki eğilimleri iyi gösterme olasılığı düşüktür. Veriler normal olarak dağıtılmadıysa da kötü performans gösterebilir.

Rice Kuralı

Rice kuralı, Sturges kuralına alternatif olarak türetilmiştir.

$k=\lceil 2{\sqrt[{3}]{n}}\rceil$

Karekök Seçimi

Bu kural, örnekteki veri noktalarının sayısının karekökünü alır. Excel histogramları ve diğer birçok uygulama tarafından kullanılır.

$k=\lceil {\sqrt {n}}\rceil$

Ayrıca sonucu bir sonraki tam sayıya yuvarlar.