Homotopi

Homotopi, cebirsel topolojide iki sürekli yolun veya haritanın birbirine sürekli bir dönüşümle çevrilebilmesini ifade eden temel bir kavramdır. Sezgisel olarak, bir topolojik uzayda başlangıç ve bitiş noktaları sabit tutularak bir yolun diğerine “süreklilik bozulmadan” dönüştürülmesidir. Bu dönüşüm, yolların homotopik denkliğini tanımlamaya olanak sağlar ve uzayın yapısal özelliklerinin incelenmesine temel oluşturur.

Bir topolojik uzay X ve bu uzayda sabit bir nokta x₀ alındığında, x₀’da başlayıp yine x₀’da biten kapalı yolların homotopi sınıflarından oluşan küme π₁(X, x₀), uç uca ekleme işlemiyle grup yapısı kazanır; bu gruba temel grup adı verilir. Temel grup, uzayın topolojik yapısını ölçen önemli bir cebirsel bağıntıdır ve homeomorfik uzaylar arasında izomorfizma taşır.

Homotopi yalnızca yollarla sınırlı kalmaz; iki sürekli fonksiyonun homotopik olması, bu fonksiyonların aynı topolojik bilgiyi taşıdığı anlamına gelir. Böylece homotopi kavramı, topolojik uzaylar ve haritalar arasındaki yapıların sınıflandırılmasında merkezi rol oynar.