Kaçurovskiy teoremi

Matematikte Kaçurovskiy teoremi, bir Banach uzayı üzerindeki fonksiyonun dışbükeyliğini bu fonksiyonun Fréchet türevine ilişkilendiren bir sonuçtur. Bu sonuç, matematikçi R.I. Kaçurovskiy'in adını taşımaktadır.

Teoremin ifâdesi

$V$ bir Banach uzayı, $K$ ise bu uzayın dışbükey bir altkümesi olsun. $f:K\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ genişletilmiş gerçel sayılarda değer alan ve $K$ üzerindeki her $x$ noktasında Fréchet türevi olan bir fonksiyon olsun ve bu türev $df(x)=V\to \mathbb {R}$ ile gösterilsin. O zaman, aşağıdaki ifâdeler birbirine denk ifadelerdir.

• $f$ dışbükey bir fonksiyondur.
• $K$deki her $x$ ve $y$ için

$\mathrm {d} f(x)(y-x)\leq f(y)-f(x)$

olur.

• $df$ artan bir operatördür; yâni, $K$deki her $x$ ve $y$ için

${\big (}\mathrm {d} f(x)-\mathrm {d} f(y){\big )}(x-y)\geq 0$

sağlanır.