Kantoroviç eşitsizliği

Matematikte Kantoroviç eşitsizliği, Leonid Vitalyeviç Kantoroviç'in 1948'deki bilimsel yayınına kadar uzanan ve hem fonksiyonel analiz hem de sayısal analizde görülebilen bir eşitsizliktir. ${\mathbb {R} }^{n\times n}$deki kesin pozitif ve bakışımlı (simetrik) matrislere dair bir kestirim sağlamakla beraber Schweitzer eşitsizliğiyle de ilgilidir.

Kantoroviç eşitsizliği, özellikle sayısal analizde, gradyan yöntemiyle bağlantılı yakınsama çalışmalarında önemlidir; bir takım genellemelere ve daha ileri çalışmalara yol açmıştır.

Eşitsizliğin ifadesi

Eşitsizliğin değişik sürümleri mevcuttur:
$x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}$ pozitif sayılar olsun. $\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\geq 0$ ise $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1$ özelliğini sağlasın. O zaman, $A={\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{n})$ ve $G={\sqrt {(}}x_{1}x_{n})$ olmak üzere

$\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{j}x_{j}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{j}x_{j}^{-1}\right)\leq A^{2}G^{-2}$

olur.

Eşitsizliğin bir genelleştirmesi gerçel kesin pozitif ve bakışımlı (simetrik) matrisler ve hatta Hilbert uzayları için de yazılabilir:
$n$ pozitif bir tamsayı, $Q\in {\mathbb {R} }^{n\times n}$ ise en küçük ve en büyük özdeğerleri $m$ ve $M$ pozitif gerçel sayıları olan kesin pozitif ve bakışımlı (simetrik) matris olsun. O zaman, $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathbb {R} }^{n}$de sayıl çarpım olmak üzere, her $x\in {\mathbb {R} }^{n}\setminus \{0\}$ için

$1\leq {\frac {{\langle x,Qx\rangle }\cdot {\langle x,Q^{-1}x\rangle }}{{\langle x,x\rangle }^{2}}}\leq 4{\frac {(M+m)^{2}}{M\cdot m}}$

olur.