Klein-Gordon denklemi - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Matematiksel Açılım
  • 2 Göreli serbest parçacık çözümü
  • 3 Aksiyom
  • 4 Ayrıca bakınız
  • 5 Dış bağlantılar

Klein-Gordon denklemi

  • العربية
  • Català
  • Čeština
  • Dansk
  • Deutsch
  • Ελληνικά
  • English
  • Español
  • فارسی
  • Français
  • עברית
  • Hrvatski
  • Հայերեն
  • Bahasa Indonesia
  • İtaliano
  • 日本語
  • 한국어
  • Nederlands
  • Norsk bokmål
  • ਪੰਜਾਬੀ
  • Polski
  • Português
  • Русский
  • Srpskohrvatski / српскохрватски
  • Slovenščina
  • Shqip
  • Svenska
  • Татарча / tatarça
  • Українська
  • 中文
  • 閩南語 / Bân-lâm-gí
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Klein-Gordon Denklemi, (bazı kaynaklarda Klein-Fock-Gordon Eşitliği olarak da ifade edilir) Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır. Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur.

Matematiksel Açılım

[değiştir | kaynağı değiştir]

Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir.

p 2 2 m + V ψ = i ℏ ∂ ∂ t ψ {\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi } {\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }

burada p = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla } } {\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla } } momentum operatörü, ∇ {\displaystyle \nabla } {\displaystyle \nabla } ise del operatörüdür.

Hamiltonyen işlemcisi (Ĥ);
H = p 2 2 m + V {\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V} {\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V}

Hamiltonyen işlemcisi, toplam enerjiyi karakterize eden ve içinde (kinetik enerjiyi + potansiyel enerjiyi) barındıran bir operatördür.

Schrödinger denklemi Einstein'ın Özel Görelilik Kuramı'nı hesaba katmadığı için özellikle atomaltı parçacık hesaplamalarında yetersiz kalır.

Özel Görelilik Kuramı'ndan enerjinin tanımını ihraç edip

E = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}} {\displaystyle E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}

sonra, bu formüle kuantum mekanik momentum operatörünü eklediğimizde,

( − i ℏ ∇ ) 2 c 2 + m 2 c 4 ψ = i ℏ ∂ ∂ t ψ . {\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .} {\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}

sonucunu alırız. Ancak bu eşitlik karekökten dolayı gayrilokal ve düzensiz bir yapıdadır ve bu yüzden Klein ve Gordon eşitliğin daha objektif bir versiyonunu tümdengelmişlerdir.

( ◻ 2 + μ 2 ) ψ = 0 , {\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0,} {\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0,}

burada

μ = m c ℏ {\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,} {\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,}

ve

◻ 2 = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,} {\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,} olur.

Bu yeni operatöre d'Alembert operatörü denir ve günümüzde skaler (sıfır rotasyonlu) parçacıklar için alan denklemi olarak kullanılmaktadır.

Göreli serbest parçacık çözümü

[değiştir | kaynağı değiştir]

Serbest bir parçacığın Klein-Gordon denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.

∇ 2 ψ − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ = m 2 c 2 ℏ 2 ψ {\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi } {\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi }

Yukarıdaki ifadenin göreli olmayan versiyonu ise bu şekilde ifade edilebilir:

ψ ( r , t ) = e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}} {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}

Ancak elbette bu durumda,

− k 2 + ω 2 c 2 = m 2 c 2 ℏ 2 . {\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.} {\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.}

engeli oluşacaktır. Göreli olmayan parçacıklarda olduğu gibi, aynı ifadenin enerji ve momentum için olan versiyonları,

⟨ p ⟩ = ⟨ ψ | − i ℏ ∇ | ψ ⟩ = ℏ k , {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k} ,} {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k} ,}

ve

⟨ E ⟩ = ⟨ ψ | i ℏ ∂ ∂ t | ψ ⟩ = ℏ ω . {\displaystyle \langle E\rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega .} {\displaystyle \langle E\rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega .}

şeklinde formüle edilir. Bu noktada eşitliği k ve ω bilinmeyenleri için çözüp yukarıda değindiğimiz engel denklemine ihraç ettiğimizde m>0 kütleli parçacıkların enerji ve momentum değerleri arasındaki bağlantıyı formüle etmiş oluruz.

⟨ E ⟩ 2 = m 2 c 4 + ⟨ p ⟩ 2 c 2 . {\displaystyle \left.\right.\langle E\rangle ^{2}=m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} \rangle ^{2}c^{2}.} {\displaystyle \left.\right.\langle E\rangle ^{2}=m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} \rangle ^{2}c^{2}.}

Kütlesiz parçacıklar için, yukarıdaki denklemde m`i 0 olarak alabiliriz. Bu durumda kütlesiz parçacığın enerji ve momentumu arasında,

⟨ E ⟩ = ⟨ | p | ⟩ c . {\displaystyle \left.\right.\langle E\rangle =\langle |\mathbf {p} |\rangle c.} {\displaystyle \left.\right.\langle E\rangle =\langle |\mathbf {p} |\rangle c.}

ilişkisine ulaşırız.

Aksiyom

[değiştir | kaynağı değiştir]

Klein-Gordon denklemi aşağıdaki aksiyom kullanılarak tümdengelinebilir.

S = ∫ d 4 x ( 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − 1 2 m 2 c 2 ℏ 2 ϕ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi ^{2}\right)} {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi ^{2}\right)}

burada ϕ {\displaystyle \phi } {\displaystyle \phi } Klein-Gordon alanını, m {\displaystyle m} {\displaystyle m} ise kütleyi ifade etmektedir.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Dirac denklemi
  • Kuantum alan kuramı
  • Skalar alan
  • Schrödinger denklemi
  • Klein-Gordon denkleminin matematiksel argümanları bu sayfada tartışılmıştı: Dispersive PDE Wiki.

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • "Lineer Klein-Gordon Denklemi" (PDF). EqWorld: Matematik Denklemleri Dünyası. Rusya. 24 Mayıs 2005 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
  • "Gayri-Lineer Klein-Gordon Denklemi" (PDF). EqWorld: Matematik Denklemleri Dünyası. Rusya. 24 Mayıs 2005 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
  • "Klein-Gordon denkleminin genellemesi" (PDF). ABD. 28 Eylül 2007 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin
  • BNF: cb144887138 (data)
  • GND: 4164132-2
  • LCCN: sh89006586
  • NLI: 987007539206805171
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Klein-Gordon_denklemi&oldid=35973469" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Dalgalar
  • Denklemler
Gizli kategoriler:
  • BNF tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • GND tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • LCCN tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • NLI tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
  • Sayfa en son 18.47, 3 Eylül 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Klein-Gordon denklemi
Konu ekle