Lagrange teoremi (grup teorisi)

Lagrange teoremi, grup teorisinde herhangi bir sonlu $G$ grubunun herhangi bir altgrubunun derecesinin (eleman sayısının) $G$'nin derecesini böldüğünü belirten bir teoremdir. Adını matematikçi Joseph-Louis Lagrange'dan almıştır.

Teoremin aşağıdaki hali bir $H<G$ altgrubu için sadece $|G|/|H|\in \mathbb {N}$ değil, ayrıca bu bölümün $[G:H]$ indisine de ($H$'nin $G$'deki sol koset sayısına da) eşit olduğunu söyler.

Önerme

Teorem:

Bir $G$ grubunun her $H$ altgrubu için $|G|=[G:H]\cdot |H|$ sağlanır.

Görüldüğü gibi teoremin bu hali $G$'nin sonlu olmasını gerektirmez. Çünkü $[G:H]$, $|G|$ ve $|H|$ kardinal sayılar olarak düşünülebilir.

Kanıt

$H$'nin sol kosetlerini şöyle bir ilişkiyle $G$'nin içinde denklik sınıfları olarak düşünebiliriz:

$x,y\in G$ ise bir $h\in H$ için $x=hy$ oluyorsa $x$ ve $y$ denk olsun.

Bu denklikten ötürü $G$'yi ayrık $aH$ altgruplarının birleşimi olarak yazabiliriz. Bu $a\in G$'ların sayısı ise $H$'nin $G$'deki sol kosetleri sayısıdır. ($[G:H]$)

$|aH|=|H|$ olduğundan dolayı:

$|G|=[G:H]\cdot |H|$ olur.

□

Kullanım Alanları

Lagrange teoreminin iddiası oldukça güçlüdür. Lagrange teoremi sayesinde, bir $G$ grubunun altgruplarını çok daha hızlı bir şekilde arayabiliriz. Mesela bu teorem sayesinde 300 elemanlı bir grubun içinde altgrup ararken 151 farklı eleman elde etmişsek bu elemanları kapsayan en küçük altgrubun grubun kendisi olduğunu doğrudan söyleme şansı doğar.

Lagrange teoremi, elemanların derecesi hakkında da bilgi verir. $a$ bir grup elemanı olsun. $\langle a\rangle$'nın eleman sayısı, $G$'nin eleman sayısını bölmek zorunda olduğundan $a$'nın derecesinin de $G$'yi böldüğünü söylemek mümkündür. Ayrıca, buna benzer bir mantıkla, bir grubun eleman sayısı asal ise $\langle a\rangle$'nın tüm grubu kapsaması gerektiği sonucuna varırız. Bunun sonucu olarak eleman sayısı asal olan tüm grupların siklik (döngüsel) olduğu ve hiçbir bariz olmayan altgrubunun bulunmadığı ortaya çıkar.

Ancak Lagrange teoremi, her bölen için bir altgrubun olması gerektiğini söylemez. Mesela $A_{4}$'ün eleman sayısı 12 olsa da 6 elemanlı hiçbir altgrubu bulunmamaktadır. Aynı zamanda bir bölen için kaç altgrubun bulunduğunu da söylemez. Ancak Cauchy Teoremi, Sylow Teoremi ve Hall Teoremi gibi daha zayıf şartlar altında altgrupların var olduğunu iddia eden teoremler mevcutttur.