Landau-Kolmogorov eşitsizliği

Matematikte Landau-Kolmogorov eşitsizliği gerçel sayıların bir altkümesi üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun farklı türevleri arasında ilişki kuran bir aradeğerleme eşitsizlikleri ailesidir.

Eşitsizliğin ifadesi

$T\subset \mathbb {R}$ bir aralık olsun ve $f$ ise bu aralık üzerinde $n$ kere sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer, hem $f$ hem de $f^{(n)}$ sınırlıysa, o zaman her $1\leq k<n$ için

\|f^{(k)}\|_{L_{\infty }(T)}\leq C(n,k,T){\|f\|_{L_{\infty }(T)}}^{1-k/n}{\|f^{(n)}\|_{L_{\infty }(T)}}^{k/n}

eşitsizliğini sağlayan bir $C(n,k,T)$ sabiti vardır.^[1]^[2]

Eşitsizlik, k = 1, n = 2 ve T = [c,∞) veya T = R durumlarında ilk defa Edmund Landau^[3] tarafından C(2, 1, [c,∞)) = 2 ve C(2, 1, R) = √2 en iyi kestirim sabitleri ile kanıtlanmıştır. Jacques Hadamard ve Georgiy Şilov'un katkılarından sonra, Andrey Kolmogorov keyfi n, k için en iyi kestirim sabitlerini buldu:^[4]

C(n,k,\mathbb {R} )=a_{n-k}a_{n}^{-1+k/n}

Burada, a_n ile Favard sabitleri gösterilmiştir.

Genelleştirmeler

Şu şekilde genelleştirmeleri vardır:

\|f^{(k)}\|_{L_{q}(T)}\leq K\cdot {\|f\|_{L_{p}(T)}^{\alpha }}\cdot {\|f^{(n)}\|_{L_{r}(T)}^{1-\alpha }}{\text{ for }}1\leq k<n.

Burada üç norm birbirinden farklı olabilir ve normlar L₁ den o L_∞a kadar değişebilir; en bilinen durum ise p=q=r=∞ durumudur. $T$ gerçel eksen, yarı eksen veya kapalı bir aralık olabilir.

Kallman-Rota eşitsizliği, Landau-Kolmogorov eşitsizliklerini türev operatöründen Banach uzaylarındaki daha genel büzüşmelere genelleştirir.^[5]

Kaynakça

^ Weisstein, E.W. "Landau-Kolmogorov Constants". MathWorld--A Wolfram Web Resource. 27 Mayıs 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 11 Ocak 2025.
^ Schoenberg, I. J. "The Elementary Case of Landau's Problem of Inequalities Between Derivatives." Amer. Math. Monthly 80, 121-158, 1973.
^ Landau, E. (1913). "Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktionen". Proc. London Math. Soc. 13: 43–49. doi:10.1112/plms/s2-13.1.43. 6 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi11 Ocak 2025.
^ Kolmogorov, A. (1949). "On Inequalities Between the Upper Bounds of the Successive Derivatives of an Arbitrary Function on an Infinite Interval". Amer. Math. Soc. Transl. 1–2: 233–243.
^ Kallman, Robert R.; Rota, Gian-Carlo (1970), "On the inequality $\Vert f^{\prime }\Vert ^{2}\leqq 4\Vert f\Vert \cdot \Vert f''\Vert$ ", Inequalities, II (Proc. Second Sympos., U.S. Air Force Acad., Colo., 1967), New York: Academic Press, ss. 187-192, MR 0278059 .

[1] Weisstein, E.W. "Landau-Kolmogorov Constants". MathWorld--A Wolfram Web Resource. 27 Mayıs 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 11 Ocak 2025.

[2] Schoenberg, I. J. "The Elementary Case of Landau's Problem of Inequalities Between Derivatives." Amer. Math. Monthly 80, 121-158, 1973.

[3] Landau, E. (1913). "Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktionen". Proc. London Math. Soc. 13: 43–49. doi:10.1112/plms/s2-13.1.43. 6 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi11 Ocak 2025.

[4] Kolmogorov, A. (1949). "On Inequalities Between the Upper Bounds of the Successive Derivatives of an Arbitrary Function on an Infinite Interval". Amer. Math. Soc. Transl. 1–2: 233–243.

[5] Kallman, Robert R.; Rota, Gian-Carlo (1970), "On the inequality $\Vert f^{\prime }\Vert ^{2}\leqq 4\Vert f\Vert \cdot \Vert f''\Vert$ ", Inequalities, II (Proc. Second Sympos., U.S. Air Force Acad., Colo., 1967), New York: Academic Press, ss. 187-192, MR 0278059 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]