Luzin teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan analizde ve özellikle ölçü kuramında Luzin teoremi ya da Luzin ölçütü ölçülebilir fonksiyonların neredeyse sürekli olduğunu ifade eder. Başka bir deyişle, neredeyse her yerde sonlu olan bir fonksiyonun ölçülebilir fonksiyon olması ile, tanım kümesinin neredeyse tamamında sürekli olması arasında bir eşdeğerlik olduğunu belirtir. John Edensor Littlewood’un resmî olmayan biçimiyle bu şöyle ifade edilir: “Her ölçülebilir fonksiyon neredeyse süreklidir.” Teorem, Nikolai Luzin’in adını taşımaktadır.

Teoremin ifadesi

Teorem şu şekilde ifade edilir:

$m$ Lebesgue ölçüsü ve [a, b] aralığında tanımlı

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C}$

ölçülebilir bir fonksiyon olsun. O hâlde, her $\varepsilon >0$ için, $[a,b]$ aralığında $f$'nin kısıtlaması sürekli olan ve

$\mu (E)>b-a-\varepsilon$

eşitsizliğini sağlayan tıkız bir $E\subseteq [a,b]$ kümesi vardır.

Burada $E$, $[a,b]$ aralığının altuzay topolojisini alır; $f$'nin $E$ üzerindeki sürekliliği bu topolojiye göre tanımlanır.

Ayrıca, $[a,b]$ aralığında tanımlı ve hemen her yerde sonlu olan herhangi bir $f$ fonksiyonu söz konusu olduğunda, her $\varepsilon >0$ için $[a,b]$ üzerinde sürekli bir $\varphi$ fonksiyonu varsa ve

$\mu (\{x\in [a,b]:f(x)\neq \varphi (x)\})<\varepsilon$

eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman $f$ ölçülebilir olur.

Genel biçim

$(X,\Sigma ,\mu )$ bir Radon ölçüsü uzayı ve $Y$, ikinci sayılabilir bir topolojik uzay olsun. $Y$, Borel cebiri ile donatılmış olsun. Eğer $f:X\to Y$ ölçülebilir bir fonksiyon ise, her sonlu ölçüye sahip $A\in \Sigma$ ve $\varepsilon >0$ için, $A$ içinde $f$'nin sürekli olduğu kapalı bir $E$ kümesi bulunabilir ve $\mu (A\setminus E)<\varepsilon$ olur.

Eğer $A$ yerel olarak tıkız ve $Y=\mathbb {R} ^{d}$ ise, $E$ kümesi tıkız seçilebilir ve ayrıca sürekli, tıkız destekli bir $f_{\varepsilon }:X\to \mathbb {R} ^{d}$ fonksiyonu bulunabilir. Bu fonksiyon, $E$ üzerinde $f$ ile çakışır ve

$\sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$

eşitsizliği sağlanır.

Gayriresmî olarak, sayılabilir tabana sahip hedef uzaylara giden ölçülebilir fonksiyonlar, tanım kümelerinin istenildiği kadar büyük bir kısmı üzerinde sürekli fonksiyonlarla yaklaşık olarak temsil edilebilir.

İspat hakkında

Luzin teoreminin ispatı birçok klasik kaynakta bulunabilir. Kavramsal olarak bu teorem, Yegorov teoremi ve düzgün fonksiyonların yoğunluğu fikrine dayalıdır. Yegorov teoremi, noktasal yakınsamaların neredeyse düzgün olduğunu, ve düzgün yakınsamanın sürekliliği koruduğunu belirtir.

Örnek

Luzin teoreminin gücü hemen anlaşılmayabilir. Örneğin, Dirichlet fonksiyonu, yani $1_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \{0,1\}$ fonksiyonu düşünülsün. Bu fonksiyon, $\mathbb {Q}$ üzerinde 1, diğer her yerde 0 değerini alır. Bu fonksiyonun sürekli olduğu bir aralık bulmak zor görünür çünkü rasyonel sayılar gerçel sayılar kümesinde yoğundur.

Ancak Luzin teoreminin koşulları aşağıdaki $E$ kümesiyle sağlanabilir:

$\{x_{n}:n=1,2,3,...\}$, $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ kümesinin bir numaralandırması olsun. Her $n$ için:

$G_{n}=(x_{n}-\varepsilon /2^{n},x_{n}+\varepsilon /2^{n})$

ve

$E=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }G_{n}$

şeklinde tanımlansın. Bu $G_{n}$ açık kümeleri rasyonel noktaları "temizleyerek" geriye içinde hiç rasyonel bulunmayan, kapalı ve tıkız bir $E$ kümesi bırakır. Ayrıca $E$'nin ölçüsü $1-2\varepsilon$'den büyüktür.

Diğer kaynaklar

• G. Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. Chapter 7
• W. Zygmunt. Scorza-Dragoni property (Lehçe), UMCS, Lublin, 1990
• M. B. Feldman, "A Proof of Lusin's Theorem", American Math. Monthly, 88 (1981), 191-2
• Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, "Measure Theory and Fine Properties of Functions", CRC Press Taylor & Francis Group, Textbooks in Mathematics, Teorem 1.14