Maksimum-minimum eşitsizliği

Matematikte maksimum-minimum eşitsizliği ya da maks-min eşitsizliği şunu ifade eder:

Her $\ f:Z\times W\to \mathbb {R} \$ fonksiyonu için

$\sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)\ .$

eşitsizliği geçerlidir.

Eşitlik yakalandığı takdirde, f, W ve Z'nin güçlü maksimum-minimum özelliği ya da eyer noktası özelliği vardır denir. $\ f(z,w)=\sin(z+w)\$ örneğinden de görüleceği üzere eşitlik her fonksiyon için ulaşılmayabilir.

f, W ve Z'nin üzerine koşullar ekleyip eyer noktası özelliğini veren bir minimum-maksimum teoremi de vardır.

İspat

$g(z)\triangleq \inf _{w\in W}f(z,w)\$ tanımlansın. Her $z\in Z$ için

${\textstyle g(z)\leq f(z,w)}$

eşitsizliği her $w\in W$ için, infimumun tanımı gereği alt sınır olması nedeniyle, sağlanır. Sonra, her ${\textstyle w\in W}$ için,

$f(z,w)\leq \sup _{z\in Z}f(z,w)$

her ${\textstyle z\in Z}$ için, supremumun tanımı gereği üst sınır olması nedeniyle, sağlanır. Bu sebeple, her $z\in Z$ ve $w\in W$ için

$g(z)\leq f(z,w)\leq \sup _{z\in Z}f(z,w)$

olur ki bu da $w\in W$ seçimi farketmeksizin

$h(w)\triangleq \sup _{z\in Z}f(z,w)$

fonksiyonunun $g(z)$ için bir üst sınır olduğu anlamına gelir. Supremum en küçük sınır olduğu için

$\sup _{z\in Z}g(z)\leq h(w)$

eşitsizliği tüm $w\in W$ için sağlanacaktır. Bu eşitsizlikten

$\sup _{z\in Z}g(z)$

ifadesinin $h(w)$ fonksiyonunun alt sınırı olduğunu görüyoruz. İnfimum en büyük alt sınır olduğu için,

$\sup _{z\in Z}g(z)\leq \inf _{w\in W}h(w)$

olur. Bütün hepsini bir araya getirirsek,

$\sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)=\sup _{z\in Z}g(z)\leq \inf _{w\in W}h(w)=\inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)$

elde ederiz ki bu da istenen eşitsizliktir.

Ayrıca bakınız

Minimaks teoremi