Manifold (topoloji)

Çok katlı uzay

Manifold, topolojide soyut topolojik bir uzay. Bu uzayın her noktasının çevresi Öklit uzayına benzer. Bununla birlikte, bir manifold bir Öklit uzayı olmak zorunda değildir. Genel yapısı, bu basit yerel yapısından çok daha karmaşık olabilir. Bir manifoldun boyutu, yerel olarak benzediği Öklit uzayının boyutu olarak tanımlanır. Herhangi bir topolojik uzay içinse boyut kavramından söz etmek genelde olası değildir.

n boyutlu Öklit uzayı (Rⁿ), n boyutlu bir manifolddur. Birkaç nokta, 0 boyutlu bir manifolddur. Düzlemde bir doğru 1 boyutlu bir manifolddur; her noktasının çevresi R¹'e benzer. R³'te bir düzlem ya da bir küre, 2 boyutlu manifold örneğidir; her bir noktasının küme içinde çevresi R²'ye benzer.

Kelimenin kökeni

Manifold kelimesinin Almanca karşılığı Almanca: Mannigfaltigkeit'tir (çokyönlülük, çeşitlilik vs.). Bu terim, ilk kez Riemann'ın doçentlik tezinde (Habilitation, 1854) kullanmıştır. Yerel olarAlmanca: Mannigfaltigkeitak n boyutlu uzaya benzeyen, ama her noktasında farklı eğriliklere sahip olabilecek bir uzay tasarlamış ve bu tür bir uzaya adını vermiştir. Doçentlik tezinde şu satırlar dikkat çekmektedir:

“	[...] n katlı uzamın (n-fold extent) bir noktasındaki eğriliğine kavranabilir bir anlam verebilmek için şuradan başlamalıyız: bir noktadan başlayan bir jeodezik, ilk yönü verildiğinde tek bir biçimde tarif edilmiş olur. Buna göre, o noktadan ve verilen yüzey-yönleriyle başlayan tüm jeodezikler göz önüne alındığında, yüzeyin o noktasında bir eğrilik belirlenmiş olur. Bu eğrilik, aynı zamanda içinde bulunulan n katlı sürekliliğin (n-fold continuum) o noktada o yüzey yönünde eğriliğidir. Uzaya uyarlamadan önce, düz çok katlılık (flat manifoldness) hakkında genel saptamalar yapmak gerekiyor[...] Düz bir n katlı uzamda toplam eğrilik her noktada her yönde sıfırdır[...] Eğriliği tamamen sıfır olan manifoldlar, eğriliği sabit olan manifoldların özel bir durumu diye düşünülebilir[...]	„

Görüldüğü gibi Riemann, bu terimi tanımlarken daha sonra Riemann Geometrisi diye anılacak geometriyi kuruyordu. Kullandığı Almanca: -faltig eki, kat kat hissinden çok eğriliğin değişmesi yüzünden uzamın bükülüp kırışmasına işaret ediyordu. William Kingdon Clifford 1873'te Nature'da yayımlanan tercümesinde bu kelime "İngilizce: manifoldness" olarak karşılamıştır. Türkçeye kavram İngilizce manifold sözünden geçmiştir; her ne kadar çok katlı karşılığı önerilmişse de bu kavramın kullanımı yaygınlaşmamıştır.

Fransızca Fransızca: variété terimi ise (İngilizcedeki İngilizce: variety terimi gibi) cebirsel geometride analitik çok katlılara işaret eder.

Matematiksel tanım

(Kenarı olmayan) n boyutlu manifold, aşağıdaki koşulları sağlayan bir topolojik uzaydır:

• Hausdorff'tur;
• Herhangi bir noktasının çevresinde öyle bir açık komşuluk bulunabilir ki bu komşuluk Rⁿ'nin açık bir alt kümesine homeomorfiktir;
• (Kimi tanımlarda) İkinci sayılabilirlik özelliğini sağlar;
• (Kimi tanımlarda) Parakompakttır.

Yukarıdaki ikinci koşulda, Rⁿ yerine, üst yarı Öklit uzayını (yani Rⁿ'de sonuncu koordinatı negatif olmayan noktaların kümesi) temsil etmek üzere Hⁿ konursa, o zaman tanım n (kenarlı) topolojik bir manifold tanımına dönüşür. Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma kelimesinin anlamlı olabilmesi için Hⁿ üzerinde bir topoloji bulunması gerekir. Bu topoloji standart olarak Rⁿ'den tetiklenen topolojidir. M manifoldunun bir noktası x, Hⁿ'de açık V kümesine homeomorfik x 'in açık komşuluğu U olsun. Bu homeomorfizma altında x, V 'nin kenarına gönderiliyorsa, x noktasına manifoldun kenar noktası, tüm kenar noktaların kümesine manifoldun kenarı denir.

Örneğin, düzlemde başnoktaya uzaklıkları 1'den büyük olmayan kümeyi ele alalım. Bu kümeye (kapalı) disk denir ve 2 boyutlu bir manifolddur. Kenarı bir çemberdir. Çember 1 boyutlu bir manifolddur. Kenarı yoktur.

n boyutlu, kenarlı bir manifoldun kenarı, n-1 boyutlu bir manifolddur. Bir manifoldun kenarının kenarı yoktur (boşkümedir).

Birçok katlının içinde bir topolojik altuzay aynı zamanda bir manifoldsa, bu altuzaya alt manifold denir. Yukarıda bir manifoldun içinde verilen tüm manifoldlr alt manifold örnekleridir.

Konuyla ilgili yayınlar

• Gray, Jeremy (2007). Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century. Springer. 978-1-84628-632-2.