Niven teoremi

Matematikte, Ivan Niven'in adını taşıyan Niven teoremi, 0° ≤ θ ≤ 90° aralığında θ derecesinin sinüsünün de rasyonel bir sayı olduğu tek rasyonel θ değerlerinin şunlar olduğunu belirtir:^[1]

{\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}

Radyan cinsinden, 0 ≤ x ≤ $π$ /2, x/ $π$ 'nin rasyonel olması ve sin x'in rasyonel olması gerekir. Sonuç olarak, bu tür değerler yalnızca sin 0 = 0, sin $π$ /6 = 1/2 ve sin $π$ /2 = 1'dir.

Teorem, Niven'in irrasyonel sayılar üzerine kitabında Corollary 3.12 (yani Doğal sonuç 3.12) olarak yer almaktadır.^[2]

Teorem, diğer trigonometrik fonksiyonlar için de geçerlidir.^[2] θ'nın rasyonel değerleri için, sinüs veya kosinüsün tek rasyonel değerleri 0, ±1/2 ve ±1'dir; sekant veya kosekantın tek rasyonel değerleri ±1 ve ±2; tanjant veya kotanjantın tek rasyonel değerleri ise 0 ve ±1'dir.^[3]'de Lemma 12 olarak görünür.

Tarihçe

Niven'in teoreminin ispatı İrrasyonel Sayılar ("Irrational Numbers") adlı kitabında yer almaktadır. Teorem daha önce D. H. Lehmer ve J. M. H. Olmstead tarafından kanıtlanmıştı.^[2] 1933 tarihli makalesinde Lehmer, kosinüs için teoremi daha genel bir sonucu kanıtlayarak ispatladı. Yani Lehmer, $k$ ve $n$ ile $n>2$ asal tam sayıları için $2\cos(2\pi k/n)$ sayısının $\varphi (n)/2$ derecesinde bir cebirsel sayı olduğunu göstermiştir, burada $\varphi$ Euler totient fonksiyonu anlamına gelmektedir. Rasyonel sayıların derecesi 1 olduğundan, $\varphi (n)=2$ olması gerekir ve bu nedenle tek olasılık $n={}$ 1, 2, 3, 4 veya 6'dır. Daha sonra, $\sin(\theta )=\cos(\theta -\pi /2)$ trigonometrik özdeşliğini kullanarak sinüs için karşılık gelen bir sonucu kanıtladı.^[4] 1956 yılında Niven, Lehmer'in sonucunu diğer trigonometrik fonksiyonlara genişletti.^[2] Diğer matematikçiler sonraki yıllarda yeni kanıtlar verdiler.^[3]

Ayrıca bakınız

Pisagor üçlüleri, trigonometrik fonksiyonların her zaman rasyonel değerler alacağı dik üçgenler oluşturur, ancak dar açılar rasyonel değildir.
Trigonometrik fonksiyonlar
Trigonometrik sayı

Kaynakça

^ Schaumberger, Norman (1974). "A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities". Two-Year College Mathematics Journal. 5 (1). ss. 73-76. doi:10.2307/3026991. JSTOR 3026991.
^ ^a ^b ^c ^d Niven, Ivan (1956). Irrational Numbers. The Carus Mathematical Monographs. The Mathematical Association of America. s. 41. MR 0080123.
^ ^a ^b Kosinüs durumu için bir kanıt Bennett, Curtis D.; Glass, A. M. W.; Székely, Gábor J. (2004). "Fermat's last theorem for rational exponents". American Mathematical Monthly. 111 (4). ss. 322-329. doi:10.2307/4145241. JSTOR 4145241. MR 2057186.
^ Lehmer, Derrick H. (1933). "A note on trigonometric algebraic numbers". The American Mathematical Monthly. 40 (3). ss. 165-166. doi:10.2307/2301023. JSTOR 2301023.

Konuyla ilgili okumalar

Olmsted, J. M. H. (1945). "Rational values of trigonometric functions". The American Mathematical Monthly. 52 (9). ss. 507-508. JSTOR 2304540.
Jahnel, Jörg (2010). "When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number?". arXiv:1006.2938 .
Caroline Nunn (2021), "A Proof of a Generalization of Niven's Theorem Using Algebraic Number Theory", Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal, 22 (2)

Dış bağlantılar

Eric W. Weisstein, Niven's Theorem (MathWorld)
ProofWiki'de Niven teoremi
YouTube'da Niven's Theorem

[1] Schaumberger, Norman (1974). "A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities". Two-Year College Mathematics Journal. 5 (1). ss. 73-76. doi:10.2307/3026991. JSTOR 3026991.

[niven-2] Niven, Ivan (1956). Irrational Numbers. The Carus Mathematical Monographs. The Mathematical Association of America. s. 41. MR 0080123.

[bgs-3] Kosinüs durumu için bir kanıt Bennett, Curtis D.; Glass, A. M. W.; Székely, Gábor J. (2004). "Fermat's last theorem for rational exponents". American Mathematical Monthly. 111 (4). ss. 322-329. doi:10.2307/4145241. JSTOR 4145241. MR 2057186.

[Lehmer-4] Lehmer, Derrick H. (1933). "A note on trigonometric algebraic numbers". The American Mathematical Monthly. 40 (3). ss. 165-166. doi:10.2307/2301023. JSTOR 2301023.

[1]

[2]

[3]

[4]