Ortalama ayrıklık

Birim zamanda süpürülen alan  eliptik bir yörüngedeki bir nesne tarafından ve  dairesel bir yörüngede (aynı yörünge periyoduna sahip) hayali bir nesne tarafından. Her ikisi de eşit zamanlarda eşit alanları süpürür, ancak açısal tarama hızı eliptik yörünge için değişir ve dairesel yörünge için sabittir. Gösterilenler, iki zaman birimi için ortalama ayrıklık ve gerçek ayrıklıktır. (Görsel basitlik için, örtüşmeyen dairesel bir yörüngenin şematize edildiğine dikkat edin, bu nedenle, aynı yörünge periyoduna sahip bu dairesel yörünge, bu eliptik yörünge ile gerçek ölçekte gösterilmez: ölçeğin eşit periyotlu iki yörünge için doğru olması için, bu yörüngeler kesişmelidir. )

Gök mekaniğinde ortalama ayrıklık (veya anomali), bir eliptik yörünge periyodunun, yörüngedeki cismin periapsis'i geçmesinden bu yana geçen, klasik iki cisim probleminde o cismin konumunun hesaplanmasında kullanılabilecek bir açı olarak ifade edilen kesiridir. Bu, hayali bir cismin, eliptik yörüngesindeki gerçek cisimle aynı yörünge peryodunda, sabit hızla dairesel bir yörüngede hareket etmesi durumunda sahip olacağı çevre merkezden açısal uzaklıktır.

Tanımı

T belirli bir cismin bir yörüngeyi tamamlaması için gereken süre olarak tanımlayın. T zamanında, yarıçap vektörü 2 π radyan veya 360° süpürür. Ortalama tarama hızı, n, o zaman

$n={\frac {\,2\,\pi \,}{T}}={\frac {\,360^{\circ }\,}{T}}~,$

Birim zaman başına radyan boyutları veya birim zaman başına derece ile vücudun ortalama açısal hareketi olarak adlandırılır.

τ cismin pericenter'da olduğu zaman olarak tanımlayın. Yukarıdaki tanımlardan, yeni bir miktar M, ortalama ayrıklık tanımlanabilir

$M=n\,(t-\tau )~,$

bu, keyfi bir t zamanında pericenter'dan radyan veya derece boyutlarıyla açısal bir mesafe verir.

Artış hızı, n, sabit bir ortalama olduğundan, ortalama ayrıklık, her yörünge sırasında 0'dan 2 π radyana veya 0°'den 360°'ye düzgün (doğrusal) olarak artar. Vücut perimerkezdeyken 0'a, apocenter'da π radyan (180°) ve tam bir dönüşten sonra 2 π radyan (360°)'ye eşittir. Ortalama ayrıklık herhangi bir anda biliniyorsa, herhangi bir sonraki (veya önceki) anda n⋅δt eklenerek (veya çıkarılarak) hesaplanabilir, burada δt küçük zaman farkını temsil eder.

Ortalama ayrıklık, herhangi bir fiziksel nesne arasındaki açıyı ölçmez (pericenter veya apocenter veya dairesel bir yörünge hariç). Bir cismin pericenter'dan bu yana yörüngesinin etrafında ne kadar ilerlediğinin basit bir uygun tekdüze ölçüsüdür. Ortalama ayrıklık, bir yörünge boyunca bir konumu tanımlayan üç açısal parametreden (tarihsel olarak "ayrıklıklar" olarak bilinir) biridir, diğer ikisi eksantrik ayrıklık ve gerçek ayrıklıktır.

Formüller

Ortalama ayrıklık M, eksantrik ayrıklık E ve eksantriklik e Kepler Denklemi ile hesaplanabilir:

$M=E-e\,\sin E~.$

Ortalama ayrıklık da sıklıkla şu şekilde görülür:

$M=M_{0}+n\left(t-t_{0}\right)~,$

burada M ₀ çağdaki ortalama ayrıklıktır ve t ₀ çağdır, yörünge elemanlarının atıfta bulunduğu bir referans zamanıdır, bu, pericenter geçiş zamanı olan τ ile çakışabilir veya çakışmayabilir. Bir dizi yörünge elemanından eliptik bir yörüngedeki bir nesnenin konumunu bulmanın klasik yöntemi, bu denklemle ortalama ayrıklığı hesaplamak ve ardından eksantrik ayrıklık için Kepler denklemini çözmektir.

ϖ'yi ϖ boylamı, pericenter'ın bir referans yönünden açısal mesafesi olarak tanımlayın. ℓ ortalama boylam olarak tanımlayın, cismin ortalama ayrıklıkta olduğu gibi düzgün açısal hareketle hareket ettiğini varsayarak, cismin aynı referans yönünden açısal mesafesi. Böylece ortalama ayrıklık da:

$M=\ell -\varpi ~.$

Ortalama açısal hareket de ifade edilebilir,

$n={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}~,$

burada μ, nesnelerin kütlelerine göre değişen bir yerçekimi parametresidir ve a, yörüngenin yarı ana eksenidir. Ortalama ayrıklık daha sonra genişletilebilir,

$M={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}\,\left(t-\tau \right)~,$

ve burada ortalama ayrıklık, a yarıçaplı a daire üzerinde düzgün açısal hareketi temsil eder. .

Ortalama ayrıklık, eksantrik ayrıklığı bulunarak ve ardından Kepler denklemi kullanılarak eksantriklik ve gerçek ayrıklık f hesaplanabilir. Bu, radyan cinsinden şunu verir:

$M=\operatorname {atan2} \left(-\ {\sqrt {1-e^{2}}}\sin f,-\ e-\cos f\right)+\pi -e{\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin f}{1+e\cos f}}$

atan2 (y, x), (0, 0) ila (x, y), y ile aynı işarete sahip. (Argümanların genellikle elektronik tablolarda tersine çevrildiğini unutmayın, örneğin Excel.)

Parabolik ve hiperbolik yörüngeler için ortalama ayrıklığı tanımlanmamıştır, çünkü bunların bir periyodu yoktur. Ancak bu durumlarda, eliptik yörüngelerde olduğu gibi, çekici ile yörüngeyi takip eden nesne arasındaki bir kiriş tarafından süpürülen alan zamanla doğrusal olarak artar. Hiperbolik durum için, Kepler yörüngesi makalesinde açıklandığı gibi, geçen süreyi açının bir fonksiyonu olarak (eliptik durumda gerçek ayrıklık) veren yukarıdakine benzer bir formül vardır. Parabolik durum için farklı bir formül vardır, odaklar arasındaki mesafe sonsuza giderken eliptik veya hiperbolik durum için sınırlayıcı durum - bkz. Baker denklemi.

Ortalama ayrıklığı bir seri açılım olarak da ifade edilebilir:

$M=f+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big \{}{\frac {1}{n}}+{\sqrt {1-e^{2}}}{\Big \}}\beta ^{n}\sin {nf}$

ile birlikte $\beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}$

$M=f-2\,e\sin f+\left({\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {1}{8}}e^{4}\right)\sin 2f-{\frac {1}{3}}e^{3}\sin 3f+{\frac {5}{32}}e^{4}\sin 4f+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{5}\right)$

Benzer bir formül, gerçek ayrıklığı doğrudan ortalama ayrıklığı cinsinden verir:

$f=M+\left(2\,e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin 3M+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)$

Yukarıdaki denklemin genel bir formülasyonu, merkezin denklemi olarak yazılabilir:

$f=M+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {1}{s}}{\Big \{}J_{s}(se)+\sum _{p=1}^{\infty }\beta ^{p}{\big (}J_{s-p}(se)+J_{s+p}(se){\big )}{\Big \}}\sin(sM)$

Ayrıca bakınız

• Kepler'in gezegensel hareket yasaları
• Yörünge ögeleri

Dış bağlantılar

• Glossary entry anomaly, mean 19 Ağustos 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at the US Naval Observatory's Astronomical Almanac Online 20 Nisan 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.