Savitch teoremi

Savitch Teoremi, uzay karmaşıklığını konu edinen ve bu hususta sonuca varan en eski teoremlerden biridir. Belirlenimsiz makinelerin belirlenimli makinelere dönüştürülmesinde, gerekli olan uzay karmaşıklığını incelemiştir ve beklenenden çok daha küçük uzay gereksinimi olduğunu ortaya koymuştur. Daha formal bir ifadeyle, $f(n)$ uzay kullanan bir belirlenimsiz Turing makinesi (nondeterministic turing machine $NTM$ ), belirlenimli bir turing makinesine (deterministic turing machine $TM$ ) dönüştürülürken $f(n)^{2}$ uzay gerektirir.^[1]

Teorem

Herhangi bir $f:N\to R^{+}$ fonksiyonu için, $f(n)\geq n$ gereksinimi karşılamak koşuluyla,
$NSPACE(f(n))\subseteq SPACE(f(n))$ dir.

İspat fikri

$f(n)$ uzay kullanan bir $NTM$ simule ederken, akla ilk gelen yol $NTM$ 'nin tüm kollarını tek tek hesaplayarak, işlemi ilerletmektir. Bu yolu kullanırken, işlenen kola ait bilgilerin tutulması gerekmektedir. $f(n)$ uzay kullanan bir kol, en kötü ihtimalle $2^{O(f(n))}$ adımda, hesaplanabilir. Bütün kolların sırayla hesaplanması ise, hepsinin kayıt altında tutulması manasına gelir ki bu $2^{O(f(n))}$ uzay gerektirir. Üssel bir ilişki kuran bu yöntem, Savitch teoreminin iddia ettiği uzaydan çok daha fazla uzay gerektirmiş olur.

Bunun yerine, çözümü yinelemeli bir algoritma olan, yieldability probleminin yöntemi uygulanmıştır. $c_{1}$ 'i başlangıç, $c_{2}$ 'yi kabul konfigurasyonu ve t'yi $NTM$ 'nin kullanabileceği maksimum adım sayısı olarak kabul edersek, yieldability probleminin çözümü, $NTM$ 'nin verilen katarı kabul edip etmediğine karar verebilir.

Yieldability problemi

Yinelemeli bir algoritma mantığıyla çözülebilecek olan yieldability probleminin çözümünde aşağıdaki algoritma kullanılır.
CANYIELD( $c_{1},c_{2},t$ ) # $c_{1}vec_{2}$ başlangıç ve kabul konfigürasyonları, $t$ adım sayısı

1.  Eğer  $t=1$  ise  $c_{1}=c_{2}$  olup olmadığına veya  $c_{1}$ 'den  $c_{2}$ 'ye tek bir adımda geçip geçmediğine bakılır. Eğer ikisinden biri doğru ise kabul, ikisi de yanlış ise ret döner

2. Eğer  $t>1$  ise bütün  $f(n)$  uzay kullanan ara konfigürasyonlar( $c_{m}$ ) için:

3. CANYIELD( $c_{1},c_{m},t/2$ ) çağır

4. CANYIELD( $c_{m},c_{2},t/2$ ) çağır

5. Eğer 3. ve 4. adım kabulse, kabul eder 

6. Eğer kabul değilse ret döner

İspat

$N$ makinesi $f(n)$ uzayda $A$ diline karar veren bir $NTM$ olsun. $A$ diline karar veren bir belirlenimli $TM$ $M$ makinesi oluşturalım. $M$ makinesi, $N$ makinesinin herhangi bir konfigürasyonunun belirli adımda çözülüp çözülmediğini test etmek için yukarıda bahsedilen CANYIELD algortimasını kullanır.
$w$ katarı $N$ makinesi için bir girdi katarı olsun. $w$ katarı üzerinde $c_{1}$ ve $c_{2}$ konfigürasyonları için, $N$ makinesi $c_{1}$ 'den $c_{2}$ 'ye $t$ veya daha az adımda geliyorsa, CANYIELD algoritması kabul döner, değilse ret döner.
Şimdi de $N$ makinesini simüle eden bir $M$ makinesi oluşturalım:

$M$ ( $w$ )

1. CANYIELD( $c_{1}$ , $c_{2}$ , $2^{f(n)}$ ) sonucu çıktı olarak döner.

CANYIELD algoritması kendisini yinelemeli olarak çağırdığında, mevcut durumu; $c_{1}$ ve $c_{2}$ değerlerini tutmak zorunda kalır. Öyleyse her bir yineleme adımında, ekstra $O(f(n))$ uzay gereklidir. Ayrıca, her bir yineleme adımında, $t$ adım yarıya düştüğünden, toplamda, $log_{2}2^{f(n)}=f(n)$ uzay gereklidir. O zaman bütün simüle için gerekli olan uzay, $f(n)f(n)=f(n)^{2}$ olur. Bu da Savitch'in iddia ettiği gibi $O(f(n)^{2})$ uzayda, bir $O(f(n))$ uzay $NTM$ bir $TM$ 'e dönüştürülebilir.