Shapiro eşitsizliği

Matematikte Shapiro eşitsizliği pozitif sayı dizileri üzerinde geçerli bir eşitsizliktir. Adını, bu eşitsizliği genel halde 1954de öne süren Harold Shapiro'dan almıştır.^[1]^[2]

Eşitsizliğin ifadesi

n bir doğal sayı ve $x 1, x 2, \dots, x n$ gerçel sayıları pozitif olsun.

n çiftse ve $n\leq 12$ ise veya
n tekse ve $n\leq 23$ ise,

o zaman, $x n +1 = x 1$ ve $x n +2 = x 2$ olmak üzere

\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}

olur. Bu eşitsizliğe Shapiro eşitsizliği denir.

$n$ 'nin daha büyük değerleri için eşitsizlik geçerli değildir ve bu durumlarda kesin alt sınır $γ n / 2$ sayısıdır ki burada $γ \approx 0.9891\dots$ (OEIS'de A245330 dizisi) olarak bilinmektedir.

$n=12$ ^[3] ve $n=23$ ^[4] için eşitsizliğin ilk kanıtları sayısal hesaplamalara dayanmaktadır. 2002'de, PJ Bushell ve JB McLeod $n=12$ için analitik bir kanıt yayınladı.^[5]

$γ$ değeri 1971 yılında Vladimir Drinfeld tarafından belirlendi. Özellikle, $γ$ 'nın kesin alt sınırının $ψ (0)$ ile verildiğini kanıtladı; burada, $ψ$ fonksiyonu $f (x) = e - x$ ve $g (x) = 2 / (e x + e x /2)$ fonksiyonlarının dışbükey zarfıdır. Diğer deyişle, $ψ$ nin grafiğinin üstündeki bölge $f$ ve $g$ 'nin grafiklerinin üstündeki bölgelerin birleşiminin dışbükey zarfıdır.^[6]^[7]

Sol tarafın iç yerel minimumları her zaman $\geq n / 2$ den büyük veya eşittir.^[8]

Karşıt örnekler

İlk karşıt örnek Lighthill tarafından 1956 yılında $n = 20$ için verildi:^[9] $\epsilon$ 0'a yakın olmak üzere

x_{20}=(1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon )

.

O zaman, sol taraf $10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})$ ifadesine eşit olur ki $\epsilon$ yeteri kadar küöük olduğunda, sol taraf 10dan küçük olur.

$n = 14$ için ise Troesch tarafından karşıt bir örnek verilmiştir:^[4] $\epsilon$ 0'a yakın olmak üzere

x_{14}=(\epsilon ,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,\epsilon ,40).

Kaynakça

^ H. S. Shapiro: Advanced Problems and Solutions, Amer. Math. Monthly 61 (1954), 571–572.
^ Shapiro, H. S.; Bellman, R.; Newman, D. J.; Weissblum, W. E.; Smith, H. R.; Coxeter, H. S. M. (1954). "Problems for Solution: 4603-4607". The American Mathematical Monthly. 61 (8). s. 571. doi:10.2307/2307617. JSTOR 230761723 Eylül 2021.
^ Godunova, E. K.; Levin, V. I. (1 Haziran 1976). "A cyclic sum with 12 terms". Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR (İngilizce). 19 (6). ss. 510-517. doi:10.1007/BF01149930. ISSN 1573-8876.
^ ^a ^b Troesch, B. A. (1989). "The Validity of Shapiro's Cyclic Inequality". Mathematics of Computation. 53 (188). ss. 657-664. doi:10.2307/2008728. ISSN 0025-5718. JSTOR 2008728.
^ Bushell, P. J.; McLeod, J. B. (2002). "Shapiro's cyclic inequality for even n". Journal of Inequalities and Applications (İngilizce). 7 (3). ss. 331-348. doi:10.1155/S1025583402000164. ISSN 1029-242X. 27 Ocak 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi24 Ocak 2025.
^ Drinfel'd, V. G. (1 Şubat 1971). "A cyclic inequality". Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR (İngilizce). 9 (2). ss. 68-71. doi:10.1007/BF01316982. ISSN 1573-8876.
^ Eric W. Weisstein, Shapiro's Cyclic Sum Constant (MathWorld)
^ Nowosad, Pedro (September 1968). "Isoperimetric eigenvalue problems in algebras". Communications on Pure and Applied Mathematics (İngilizce). 21 (5). ss. 401-465. doi:10.1002/cpa.3160210502. ISSN 0010-3640.
^ Lighthill, M. J. (1956). "An Invalid Inequality". American Mathematical Monthly. 63 (3). ss. 191-192. doi:10.1080/00029890.1956.11988785.

Dış bağlantılar

1999daki Usenet tartışması (Dave Rusin'in notları)
planetmath.org'da Shapiro Inequality

[1] H. S. Shapiro: Advanced Problems and Solutions, Amer. Math. Monthly 61 (1954), 571–572.

[2] Shapiro, H. S.; Bellman, R.; Newman, D. J.; Weissblum, W. E.; Smith, H. R.; Coxeter, H. S. M. (1954). "Problems for Solution: 4603-4607". The American Mathematical Monthly. 61 (8). s. 571. doi:10.2307/2307617. JSTOR 230761723 Eylül 2021.

[3] Godunova, E. K.; Levin, V. I. (1 Haziran 1976). "A cyclic sum with 12 terms". Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR (İngilizce). 19 (6). ss. 510-517. doi:10.1007/BF01149930. ISSN 1573-8876.

[Troesch-4] Troesch, B. A. (1989). "The Validity of Shapiro's Cyclic Inequality". Mathematics of Computation. 53 (188). ss. 657-664. doi:10.2307/2008728. ISSN 0025-5718. JSTOR 2008728.

[5] Bushell, P. J.; McLeod, J. B. (2002). "Shapiro's cyclic inequality for even n". Journal of Inequalities and Applications (İngilizce). 7 (3). ss. 331-348. doi:10.1155/S1025583402000164. ISSN 1029-242X. 27 Ocak 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi24 Ocak 2025.

[6] Drinfel'd, V. G. (1 Şubat 1971). "A cyclic inequality". Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR (İngilizce). 9 (2). ss. 68-71. doi:10.1007/BF01316982. ISSN 1573-8876.

[7] Eric W. Weisstein, Shapiro's Cyclic Sum Constant (MathWorld)

[8] Nowosad, Pedro (September 1968). "Isoperimetric eigenvalue problems in algebras". Communications on Pure and Applied Mathematics (İngilizce). 21 (5). ss. 401-465. doi:10.1002/cpa.3160210502. ISSN 0010-3640.

[9] Lighthill, M. J. (1956). "An Invalid Inequality". American Mathematical Monthly. 63 (3). ss. 191-192. doi:10.1080/00029890.1956.11988785.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]