Slutsky teoremi

Olasılık teorisinde Slutsky teoremi, reel sayıların yakınsak dizileri için olan cebirsel işlemlerin bazı özelliklerini rassal değişkenler dizileri için genişletir. Teorem bu adı Eugen Slutsky'den sonra almıştır.

Açıklama

{X_n} ve {Y_n} rassal değişkenler skaları/vektörü/matrisi dizileri olsun. Eğer X_n dağılımda rassal bir eleman olan X'e ve Y_n olasılıkta c gibi bir sabite yakınsıyorsa,

• $X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;$
• $Y_{n}X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ cX;$
• $Y_{n}^{-1}X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c^{-1}X,$   c'nin tersinin alınabilir olduğu veri iken,

(${\xrightarrow {d}}$ dağılımda yakınsamayı ifade etmektedir.)

Notlar:

1. Teoremin açıklamsında, “Y_n olasılıkta bir sabit olan cye yakınsar” ifadesi “Y_n dağılımda bir sabit olan cye yakınsar” ile değiştirilebilir — bu iki gereklilik rassal değişkenlerin yakınsaması özelliğine göre eştir.
2. Y_n sabit bir sayıya yakınsar gerekliliği önemlidir — eğer dejenere olmaya rassal bir değişkene yakınsayacak olursa teorem geçerliliğini yitirir.
3. Tüm dağılımda yakınsama ifadelerini rassal değişkenlerin yakınsaması özelliğine dayanarak olasılıkta yakınsama ifadesi ile değiştirirsek teorem geçerliliğini devam ettirir.

Kanıt

Teorem X_n dağılımda Xe yakınsar ve Y_n olasılıkta bir sabit olan cye yakınsar, bu nedenle ortak vektör (X_n, Y_n) dağılımda (X, c)'ye yakınsar olgusundan hareket eder.

g(x,y)=x+y, g(x,y)=xy ve g(x,y)=x⁻¹ynin sürekli olduğu düşünülerek (son fonksiyonun sürekli olabilmesi için xin tersinin alınabilir olması gereklidir) sürekli eşleştirme teoremi uygulanır.