Cebirde sonlu cisim veya Galois cismi (Évariste Galois'e ithaf edilsin diye bu adla adlandırıldı), sonlu sayıda elemandan oluşan bir cisimdir. Herhangi bir cisim olarak düşünülürse sonlu cisim, değişme, çarpma, toplama, çıkarma ve (sıfırdan farklı) bölme işlemlerinin tanımlandığı bir kümedir. Sonlu cisimlere yaygın örnek, ℤ/3ℤ veya ℤ/7ℤ gibi tam sayı olan asal tam sayılar modülü verilebilir.
Sonlu cisimler yalnızca, (p bir asal sayı ve k pozitif tam sayı olan) pk asal kuvveti için geçerlidir. Her bir asal kuvvet için bu boyuta sahip tek sonlu cisim vardır. Bu boyuttaki tüm cisimler izomorftur. pk boyutuna sahip bir cismin karakteristiği p dir. Bu, sonuç sıfır olana kadar her elemanın kopyalanarak pye eklenmesi anlamına gelir. Örneğin; ℤ/2ℤ (tam sayı mod 2), 1 + 1 = 0 olduğunda karakteristiği 2 olur. ℤ/5ℤ, 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = vb. olduğunda karakteristiği 5 olur.
q kuvvetine sahip bir sonlu cisimde Xq − X polinomunun tüm ögeleri, onun kökleri olur. Böylece q farklı doğrusal faktörleri elde edilir.
Sonlu cisimlere, sayılar teorisi, cebirsel geometri, Galois teorisi, sonlu geometri, kriptografi ve kodlama kuramı da dahil matematik ve bilgisayar biliminde çok sık rastlanır.
| + |
0 |
1 |
2
|
| 0
|
0 |
1 |
2
|
| 1
|
1 |
2 |
0
|
| 2
|
2 |
0 |
1
|
|
| × |
0 |
1 |
2
|
| 0
|
0 |
0 |
0
|
| 1
|
0 |
1 |
2
|
| 2
|
0 |
2 |
1
|
|
| + |
0 |
1 |
α |
α+1
|
| 0
|
0 |
1 |
α |
α+1
|
| 1
|
1 |
0 |
α+1 |
α
|
| α
|
α |
α+1 |
0 |
1
|
| α+1
|
α+1 |
α |
1 |
0
|
|
| × |
0 |
1 |
α |
α+1
|
| 0
|
0 |
0 |
0 |
0
|
| 1
|
0 |
1 |
α |
α+1
|
| α
|
0 |
α |
α+1 |
1
|
| α+1
|
0 |
α+1 |
1 |
α
|
|
Matris tam sayıları modül 2'yi ifade eden sekiz ögeli cisim
öge (0) öge (1) öge (2) öge (3)
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1
öge (4) öge (5) öge (6) öge (7)
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0
+/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0) 0 1 2 3 4 5 6 7
(1) 1 0 4 7 2 6 5 3
(2) 2 4 0 5 1 3 7 6
(3) 3 7 5 0 6 2 4 1
(4) 4 2 1 6 0 7 3 5
(5) 5 6 3 2 7 0 1 4
(6) 6 5 7 4 3 1 0 2
(7) 7 3 6 1 5 4 2 0
x/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0) 0 0 0 0 0 0 0 0
(1) 0 1 2 3 4 5 6 7
(2) 0 2 3 4 5 6 7 1
(3) 0 3 4 5 6 7 1 2
(4) 0 4 5 6 7 1 2 3
(5) 0 5 6 7 1 2 3 4
(6) 0 6 7 1 2 3 4 5
(7) 0 7 1 2 3 4 5 6
Matris tam sayıları modül 3'ü ifade eden 9 ögeli cisim
öge (0) öge (1) öge (2)
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 1 1
öge (3) öge (4) öge (5)
1 1 1 2 2 0
1 2 2 0 0 2
öge (6) öge (7) öge (8)
0 2 2 2 2 1
2 2 2 1 1 0
+/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(0) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(1) 1 5 3 8 7 0 4 6 2
(2) 2 3 6 4 1 8 0 5 7
(3) 3 8 4 7 5 2 1 0 6
(4) 4 7 1 5 8 6 3 2 0
(5) 5 0 8 2 6 1 7 4 3
(6) 6 4 0 1 3 7 2 8 5
(7) 7 6 5 0 2 4 8 3 1
(8) 8 2 7 6 0 3 5 1 4
x/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(0) 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(2) 0 2 3 4 5 6 7 8 1
(3) 0 3 4 5 6 7 8 1 2
(4) 0 4 5 6 7 8 1 2 3
(5) 0 5 6 7 8 1 2 3 4
(6) 0 6 7 8 1 2 3 4 5
(7) 0 7 8 1 2 3 4 5 6
(8) 0 8 1 2 3 4 5 6 7
F16,
a + b x + c x2 + d x3 polinomu ile ifade edilir.
a, b, c ve d tam sayı modül 2 dir.
Polinomlar, x4 = 1 + x kuralı kullanılarak x kuvvetleri ile elde edilir.
.
ö ( 0) ö ( 1) ö ( 2) ö ( 3)
[ 0 0 0 0] [ 1 0 0 0] [ 0 1 0 0] [ 0 0 1 0]
ö ( 4) ö ( 5) ö ( 6) ö ( 7)
[ 0 0 0 1] [ 1 1 0 0] [ 0 1 1 0] [ 0 0 1 1]
ö ( 8) ö ( 9) ö (10) ö (11)
[ 1 1 0 1] [ 1 0 1 0] [ 0 1 0 1] [ 1 1 1 0]
ö (12) ö (13) ö (14) ö (15)
[ 0 1 1 1] [ 1 1 1 1] [ 1 0 1 1] [ 1 0 0 1]
+/ 0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_
0_ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1_ 1 0 5 9 15 2 11 14 10 3 8 6 13 12 7 4
2_ 2 5 0 6 10 1 3 12 15 11 4 9 7 14 13 8
3_ 3 9 6 0 7 11 2 4 13 1 12 5 10 8 15 14
4_ 4 15 10 7 0 8 12 3 5 14 2 13 6 11 9 1
5_ 5 2 1 11 8 0 9 13 4 6 15 3 14 7 12 10
6_ 6 11 3 2 12 9 0 10 14 5 7 1 4 15 8 13
7_ 7 14 12 4 3 13 10 0 11 15 6 8 2 5 1 9
8_ 8 10 15 13 5 4 14 11 0 12 1 7 9 3 6 2
9_ 9 3 11 1 14 6 5 15 12 0 13 2 8 10 4 7
10_ 10 8 4 12 2 15 7 6 1 13 0 14 3 9 11 5
11_ 11 6 9 5 13 3 1 8 7 2 14 0 15 4 10 12
12_ 12 13 7 10 6 14 4 2 9 8 3 15 0 1 5 11
13_ 13 12 14 8 11 7 15 5 3 10 9 4 1 0 2 6
14_ 14 7 13 15 9 12 8 1 6 4 11 10 5 2 0 3
15_ 15 4 8 14 1 10 13 9 2 7 5 12 11 6 3 0
x/ 0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_
0_ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1_ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2_ 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1
3_ 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2
4_ 0 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3
5_ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4
6_ 0 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5
7_ 0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6
8_ 0 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7
9_ 0 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8
10_ 0 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11_ 0 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12_ 0 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13_ 0 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
14_ 0 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
15_ 0 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
F25, a + b√2 sayıları ile ifade edilir.
a ve b, tam sayı modül 5 dir.
2 + √2 kuvvetleri ile elde edilir.
| ö (0) |
ö (1) |
ö (2) |
ö (3) |
ö (4)
|
| 0 + 0√2 |
1 + 0√2 |
2 + 1√2 |
1 + 4√2 |
0 + 4√2
|
| ö (5) |
ö (6) |
ö (7) |
ö (8) |
ö (9)
|
| 3 + 3√2 |
2 + 4√2 |
2 + 0√2 |
4 + 2√2 |
2 + 3√2
|
| ö (10) |
ö (11) |
ö (12) |
ö (13) |
ö (14)
|
| 0 + 3√2 |
1 + 1√2 |
4 + 3√2 |
4 + 0√2 |
3 + 4√2
|
| ö (15) |
ö (16) |
ö (17) |
ö (18) |
ö (19)
|
| 4 + 1√2 |
0 + 1√2 |
2 + 2√2 |
3 + 1√2 |
3 + 0√2
|
| ö (20) |
ö (21) |
ö (22) |
ö (23) |
ö (24)
|
| 1 + 3√2 |
3 + 2√2 |
0 + 2√2 |
4 + 4√2 |
1 + 2√2
|
| + |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24
|
| 0
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24
|
| 1
|
1 |
7 |
18 |
6 |
3 |
12 |
14 |
19 |
22 |
5 |
20 |
2 |
10 |
0 |
23 |
16 |
11 |
21 |
15 |
13 |
9 |
8 |
24 |
4 |
17
|
| 2
|
2 |
18 |
8 |
19 |
7 |
4 |
13 |
15 |
20 |
23 |
6 |
21 |
3 |
11 |
0 |
24 |
17 |
12 |
22 |
16 |
14 |
10 |
9 |
1 |
5
|
| 3
|
3 |
6 |
19 |
9 |
20 |
8 |
5 |
14 |
16 |
21 |
24 |
7 |
22 |
4 |
12 |
0 |
1 |
18 |
13 |
23 |
17 |
15 |
11 |
10 |
2
|
| 4
|
4 |
3 |
7 |
20 |
10 |
21 |
9 |
6 |
15 |
17 |
22 |
1 |
8 |
23 |
5 |
13 |
0 |
2 |
19 |
14 |
24 |
18 |
16 |
12 |
11
|
| 5
|
5
|
12 |
4 |
8 |
21 |
11 |
22 |
10 |
7 |
16 |
18 |
23 |
2 |
9 |
24 |
6 |
14 |
0 |
3 |
20 |
15 |
1 |
19 |
17 |
13
|
| 6
|
6 |
14 |
13 |
5 |
9 |
22 |
12 |
23 |
11 |
8 |
17 |
19 |
24 |
3 |
10 |
1 |
7 |
15 |
0 |
4 |
21 |
16 |
2 |
20 |
18
|
| 7
|
7 |
19 |
15 |
14 |
6 |
10 |
23 |
13 |
24 |
12 |
9 |
18 |
20 |
1 |
4 |
11 |
2 |
8 |
16 |
0 |
5 |
22 |
17 |
3 |
21
|
| 8
|
8 |
22 |
20 |
16 |
15 |
7 |
11 |
24 |
14 |
1 |
13 |
10 |
19 |
21 |
2 |
5 |
12 |
3 |
9 |
17 |
0 |
6 |
23 |
18 |
4
|
| 9
|
9 |
5 |
23 |
21 |
17 |
16 |
8 |
12 |
1 |
15 |
2 |
14 |
11 |
20 |
22 |
3 |
6 |
13 |
4 |
10 |
18 |
0 |
7 |
24 |
19
|
| 10
|
10 |
20 |
6 |
24 |
22 |
18 |
17 |
9 |
13 |
2 |
16 |
3 |
15 |
12 |
21 |
23 |
4 |
7 |
14 |
5 |
11 |
19 |
0 |
8 |
1
|
| 11
|
11 |
2 |
21 |
7 |
1 |
23 |
19 |
18 |
10 |
14 |
3 |
17 |
4 |
16 |
13 |
22 |
24 |
5 |
8 |
15 |
6 |
12 |
20 |
0 |
9
|
| 12
|
12 |
10 |
3 |
22 |
8 |
2 |
24 |
20 |
19 |
11 |
15 |
4 |
18 |
5 |
17 |
14 |
23 |
1 |
6 |
9 |
16 |
7 |
13 |
21 |
0
|
| 13
|
13 |
0 |
11 |
4 |
23 |
9 |
3 |
1 |
21 |
20 |
12 |
16 |
5 |
19 |
6 |
18 |
15 |
24 |
2 |
7 |
10 |
17 |
8 |
14 |
22
|
| 14
|
14 |
23 |
0 |
12 |
5 |
24 |
10 |
4 |
2 |
22 |
21 |
13 |
17 |
6 |
20 |
7 |
19 |
16 |
1 |
3 |
8 |
11 |
18 |
9 |
15
|
| 15
|
15 |
16 |
24 |
0 |
13 |
6 |
1 |
11 |
5 |
3 |
23 |
22 |
14 |
18 |
7 |
21 |
8 |
20 |
17 |
2 |
4 |
9 |
12 |
19 |
10
|
| 16
|
16 |
11 |
17 |
1 |
0 |
14 |
7 |
2 |
12 |
6 |
4 |
24 |
23 |
15 |
19 |
8 |
22 |
9 |
21 |
18 |
3 |
5 |
10 |
13 |
20
|
| 17
|
17 |
21 |
12 |
18 |
2 |
0 |
15 |
8 |
3 |
13 |
7 |
5 |
1 |
24 |
16 |
20 |
9 |
23 |
10 |
22 |
19 |
4 |
6 |
11 |
14
|
| 18
|
18 |
15 |
22 |
13 |
19 |
3 |
0 |
16 |
9 |
4 |
14 |
8 |
6 |
2 |
1 |
17 |
21 |
10 |
24 |
11 |
23 |
20 |
5 |
7 |
12
|
| 19
|
19 |
13 |
16 |
23 |
14 |
20 |
4 |
0 |
17 |
10 |
5 |
15 |
9 |
7 |
3 |
2 |
18 |
22 |
11 |
1 |
12 |
24 |
21 |
6 |
8
|
| 20
|
20 |
9 |
14 |
17 |
24 |
15 |
21 |
5 |
0 |
18 |
11 |
6 |
16 |
10 |
8 |
4 |
3 |
19 |
23 |
12 |
2 |
13 |
1 |
22 |
7
|
| 21
|
21 |
8 |
10 |
15 |
18 |
1 |
16 |
22 |
6 |
0 |
19 |
12 |
7 |
17 |
11 |
9 |
5 |
4 |
20 |
24 |
13 |
3 |
14 |
2 |
23
|
| 22
|
22 |
24 |
9 |
11 |
16 |
19 |
2 |
17 |
23 |
7 |
0 |
20 |
13 |
8 |
18 |
12 |
10 |
6 |
5 |
21 |
1 |
14 |
4 |
15 |
3
|
| 23
|
23 |
4 |
1 |
10 |
12 |
17 |
20 |
3 |
18 |
24 |
8 |
0 |
21 |
14 |
9 |
19 |
13 |
11 |
7 |
6 |
22 |
2 |
15 |
5 |
16
|
| 24
|
24 |
17 |
5 |
2 |
11 |
13 |
18 |
21 |
4 |
19 |
1 |
9 |
0 |
22 |
15 |
10 |
20 |
14 |
12 |
8 |
7 |
23 |
3 |
16 |
6
|
| × |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24
|
| 0
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0
|
| 1
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24
|
| 2
|
0 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1
|
| 3
|
0 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2
|
| 4
|
0 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3
|
| 5
|
0 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4
|
| 6
|
0 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5
|
| 7
|
0 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6
|
| 8
|
0 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7
|
| 9
|
0 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8
|
| 10
|
0 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9
|
| 11
|
0 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10
|
| 12
|
0 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11
|
| 13
|
0 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12
|
| 14
|
0 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13
|
| 15
|
0 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14
|
| 16
|
0 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15
|
| 17
|
0 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16
|
| 18
|
0 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17
|
| 19
|
0 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18
|
| 20
|
0 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19
|
| 21
|
0 |
21 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20
|
| 22
|
0 |
22 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21
|
| 23
|
0 |
23 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22
|
| 24
|
0 |
24 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23
|
