Stokes akışı

Stokes Akışı George Gabriel Stokes tarafından geliştirilmiştir. Aynı zamanda sürünme akışı^[1] olarak da adlandırılır. Bu akışlar, advektif Atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere göre küçük olduğu akışlardır.^[2] Adveksiyon, herhangi bir dinamik davranışta korunan değerlerin parçacıklar veya sistemler arasındaki kütlesel hareket ile taşınımıdır. Atalet kuvvetlerinin küçük olması ise hareketlerin düşük hızlı olduğunu ifade eder. Bunlara bağlı olarak Stokes Akışları Reynolds Sayısının küçük olduğu akışlardaki basitleştirilmiş modeldir. Bu tipik durumun olduğu akışlarda hız oldukça yavaştır ve viskozite çok yüksektir veya karakteristik uzunlukların oranı küçüktür. Sürünme akışı ilk olarak göreceli hareketin küçük olduğu veya statik olan mekanik parçaların yağlanmasında incelenmiştir. Ayrıca bu akış doğada mikroorganizmaların akışkanlar içindeki hareketlerinde gözlenir. Teknolojide ise MEMS’de ve polimerlerde bu akış görülebilir.

Stokes Akışı Stokes Denklemleri ile modellenir. Navier-Stokes denklemlerinin yukarıdaki kabuller ve basitleştirmeler ile doğrusallaştırılmasıdır. Dolayısıyla birçok diferansiyel denklem çözme metodu ile analitik olarak çözülebilir. Yapısı gereği, Green fonksiyonları ile çözülebilir.

Noktasal kuvvetleri temel alarak ilerleyen genel çözüm ise ilk olarak Lorentz tarafından 1896’da üretilmiştir. Bu çözüm Stokeslet adında bilinmektedir.^[3]

Stokes Denklemleri

Stokes akışlarındaki hareket denklemleri yukarıda belirtildiği üzere zamana göre durgun Navier Stokes Denklemleri’nin doğrusallaştırılması ile bulunabilir. Atalet kuvvetleri, viskoz kuvvetlere göre çok küçüktür ve Navier-Stokes denklemlerindeki advektif enerji değişimi terimleri (ısı taşınımı gibi)nin iptal edilmesi ile atalet terimlerinin çıkarılması; bize sadece momentum dengesini bırakır;

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbb {P} +\mathbf {f} =0

Burada $\scriptstyle \mathbb {P}$ , Cauchy stress tensörünü ifade eder.^[4]^[5] Bu, akışkan moleküllerini sürekli ortamlar mekaniğine bağlı olarak paketlediğimizde; yüzeylerdeki stressleri, etkileşim kuvvetlerini, dış kuvvetleri ve basınçları genel olarak ifade eder. Ayrıca, bu denklemler kütle korunumunu da içerir;

{\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0

$\scriptstyle \rho$ akışkanın özkütlenin, $\scriptstyle \mathbf {u}$ ise hızını ifade eder. Sıkıştırılamaz akışların hareket denklemlerini bulmak için, özkütlenin sabit olduğunu kabul etmek gerekir.

Ayrıca, zamana göre durgun olmayan Stokes akışlarında, momentum dengesinde sol tarafa $\scriptstyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}$ teriminin eklenmesi ile tam model elde edilebilir. (Euler’in akış modelinden de bilineceği üzere, özkütle, hız ve hareket değişiminden ötürü değişecektir.)

Stokes Paradoksu

Stokes akışının ilginç bir özelliği şudur; 2 boyutlu bir disk etrafında Stokes akışı olamaz. Veya buna denk olarak, Stokes akışının sonsuz uzunluktaki bir silindir etrafında çözümü yoktur.^[6]

Özellikler

Taylor–Couette vorteksleri, Re=950

Stokes denklemleri Navier-Stokes denklemlerinin birçok akış tipini ifade edebilecek önemli bir basitleştirilmesidir. Özellikle sıkıştırılamaz Newton uyumlu akışkanlarda kullanılır. Buradaki en önemli basitleştirme Reynolds Sayısının sıfıra yaklaşmasıdır. Dolayısıyla, Navier-Stokes denklemlerinin normalleştirilmiş ve boyutsuzlaştırılmış formlarında bunu yaparak Stokes denklemlerini bulabiliriz.

Stokes denklemlerinde sınır koşulları verildiyse, akış zamana göre sürekli bir şekilde çözülebilir ve başka bir zamandaki akış bilgisine gerek yoktur. Yani tek bir sınır bilgisi çözüm için yeterlidir. (Doğrusal diferansiyel denklemlerde, sınır bilgileri yerine, ilk bilgilerin verilmesi yeterlidir) Aynı zamanda, zamana göre tersi alınmış Stokes denklemleri, alınmamış olanlarla aynı sonuçları verir. (Time-reversibility) Bu da Stokes akışlarındaki simetriden bahseder. Bu özellik kullanılarak çözümler basitleştirilebilir ve denklemleri tamamen çözmeye gerek kalmadan sonuçlar elde edilebilir. Buna bir örnek Taylor-Couette akışı ile verilebilir.

Kaynakça

^ Kim, S. & Karrila, S. J. (2005) Microhydrodynamics: Principles and Selected Applications, Dover. ISBN 0-486-44219-5.
^ Kirby, B.J. (2010). Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0. 28 Nisan 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Aralık 2015.
^ Chwang, A. and Wu, T. (1974). "Hydromechanics of low-Reynolds-number flow. Part 2. Singularity method for Stokes flows" 7 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. J. Fluid Mech. 62(6), part 4, 787–815.
^ Batchelor, G. K. (2000). Introduction to Fluid Mechanics.
^ Happel, J. & Brenner, H. (1981) Low Reynolds Number Hydrodynamics, Springer. ISBN 90-01-37115-9.
^ Lamb, Horace (1945). Hydrodynamics (Sixth bas.). New York: Dover Publications. ss. 602-604.

Ockendon, H. & Ockendon J. R. (1995) Viscous Flow, Cambridge University Press. ISBN 0-521-45881-1.

[kim2005-1] Kim, S. & Karrila, S. J. (2005) Microhydrodynamics: Principles and Selected Applications, Dover. ISBN 0-486-44219-5.

[Kirby-2] Kirby, B.J. (2010). Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0. 28 Nisan 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Aralık 2015.

[Chwang-3] Chwang, A. and Wu, T. (1974). "Hydromechanics of low-Reynolds-number flow. Part 2. Singularity method for Stokes flows" 7 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. J. Fluid Mech. 62(6), part 4, 787–815.

[Batchelor-4] Batchelor, G. K. (2000). Introduction to Fluid Mechanics.

[Happel-5] Happel, J. & Brenner, H. (1981) Low Reynolds Number Hydrodynamics, Springer. ISBN 90-01-37115-9.

[6] Lamb, Horace (1945). Hydrodynamics (Sixth bas.). New York: Dover Publications. ss. 602-604.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]